Номер 5.59, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.59. Представьте разность квадратов двух выражений в виде произведения:

1) $(2a+b)^2-(a-2b)^2$;

2) $(x+y)^2-(y-z)^2$;

3) $(p+q)-(p-q)$;

4) $(4a-b)^2-(2a+3b)^2$.

1) Для разложения выражения $(2a+b)^2-(a-2b)^2$ на множители воспользуемся формулой разности квадратов: $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

В данном случае $A = 2a+b$ и $B = a-2b$.

Подставим эти выражения в формулу:

$(2a+b)^2-(a-2b)^2 = ((2a+b)-(a-2b))((2a+b)+(a-2b))$

Упростим выражения в каждой из скобок:

Первая скобка: $(2a+b)-(a-2b) = 2a+b-a+2b = a+3b$.

Вторая скобка: $(2a+b)+(a-2b) = 2a+b+a-2b = 3a-b$.

Таким образом, получаем произведение: $(a+3b)(3a-b)$.

Ответ: $(a+3b)(3a-b)$.

2) Для выражения $(x+y)^2-(y-z)^2$ применим ту же формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

Здесь $A = x+y$ и $B = y-z$.

Подставляем в формулу:

$(x+y)^2-(y-z)^2 = ((x+y)-(y-z))((x+y)+(y-z))$

Упростим выражения в скобках:

Первая скобка: $(x+y)-(y-z) = x+y-y+z = x+z$.

Вторая скобка: $(x+y)+(y-z) = x+y+y-z = x+2y-z$.

В результате получаем: $(x+z)(x+2y-z)$.

Ответ: $(x+z)(x+2y-z)$.

3) Представим выражение $(p+q)^2-(p-q)^2$ в виде произведения, используя формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

В этом случае $A = p+q$ и $B = p-q$.

Подставляем в формулу:

$(p+q)^2-(p-q)^2 = ((p+q)-(p-q))((p+q)+(p-q))$

Упрощаем каждую скобку:

Первая скобка: $(p+q)-(p-q) = p+q-p+q = 2q$.

Вторая скобка: $(p+q)+(p-q) = p+q+p-q = 2p$.

Перемножаем полученные выражения: $(2q)(2p) = 4pq$.

Ответ: $4pq$.

4) Для разложения выражения $(4a-b)^2-(2a+3b)^2$ на множители используем формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

Здесь $A = 4a-b$ и $B = 2a+3b$.

Подставляем в формулу:

$(4a-b)^2-(2a+3b)^2 = ((4a-b)-(2a+3b))((4a-b)+(2a+3b))$

Упрощаем выражения в скобках:

Первая скобка: $(4a-b)-(2a+3b) = 4a-b-2a-3b = 2a-4b$.

Вторая скобка: $(4a-b)+(2a+3b) = 4a-b+2a+3b = 6a+2b$.

Получаем произведение: $(2a-4b)(6a+2b)$.

Можно вынести общие множители из каждой скобки для дальнейшего упрощения:

$2a-4b = 2(a-2b)$

$6a+2b = 2(3a+b)$

Тогда произведение принимает вид: $2(a-2b) \cdot 2(3a+b) = 4(a-2b)(3a+b)$.

Ответ: $4(a-2b)(3a+b)$.