Номер 5.56, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.56. Разложите на множители:

1) $(5a+6)^2-81;$

2) $25-(a+7)^2;$

3) $9m^2-(1+2m)^2;$

4) $(5x-3y)^2-16x^2;$

5) $(5c-3d)^2-9d^2;$

6) $49m^2-(n+8m)^2.$

Для решения всех задач используется формула разности квадратов: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

1) Дано выражение $(5a+6)^2 - 81$.

Представим $81$ как $9^2$, чтобы получить разность квадратов: $(5a+6)^2 - 9^2$.

Применим формулу, где $a = (5a+6)$ и $b = 9$:

$(5a+6)^2 - 9^2 = ((5a+6) - 9)((5a+6) + 9)$

Упростим выражения в скобках:

$(5a+6-9)(5a+6+9) = (5a-3)(5a+15)$

Из второго множителя $(5a+15)$ можно вынести общий множитель 5:

$(5a-3) \cdot 5(a+3) = 5(5a-3)(a+3)$

Ответ: $5(5a-3)(a+3)$

2) Дано выражение $25 - (a+7)^2$.

Представим $25$ как $5^2$, чтобы получить разность квадратов: $5^2 - (a+7)^2$.

Применим формулу, где $a = 5$ и $b = (a+7)$:

$5^2 - (a+7)^2 = (5 - (a+7))(5 + (a+7))$

Упростим выражения в скобках:

$(5-a-7)(5+a+7) = (-a-2)(a+12)$

Из первого множителя $(-a-2)$ вынесем за скобку -1:

$-(a+2)(a+12)$

Ответ: $-(a+2)(a+12)$

3) Дано выражение $9m^2-(1+2m)^2$.

Представим $9m^2$ как $(3m)^2$, чтобы получить разность квадратов: $(3m)^2 - (1+2m)^2$.

Применим формулу, где $a = 3m$ и $b = (1+2m)$:

$(3m)^2 - (1+2m)^2 = (3m - (1+2m))(3m + (1+2m))$

Упростим выражения в скобках:

$(3m-1-2m)(3m+1+2m) = (m-1)(5m+1)$

Ответ: $(m-1)(5m+1)$

4) Дано выражение $(5x-3y)^2-16x^2$.

Представим $16x^2$ как $(4x)^2$, чтобы получить разность квадратов: $(5x-3y)^2 - (4x)^2$.

Применим формулу, где $a = (5x-3y)$ и $b = 4x$:

$(5x-3y)^2 - (4x)^2 = ((5x-3y) - 4x)((5x-3y) + 4x)$

Упростим выражения в скобках:

$(5x-3y-4x)(5x-3y+4x) = (x-3y)(9x-3y)$

Из второго множителя $(9x-3y)$ можно вынести общий множитель 3:

$(x-3y) \cdot 3(3x-y) = 3(x-3y)(3x-y)$

Ответ: $3(x-3y)(3x-y)$

5) Дано выражение $(5c-3d)^2-9d^2$.

Представим $9d^2$ как $(3d)^2$, чтобы получить разность квадратов: $(5c-3d)^2 - (3d)^2$.

Применим формулу, где $a = (5c-3d)$ и $b = 3d$:

$(5c-3d)^2 - (3d)^2 = ((5c-3d) - 3d)((5c-3d) + 3d)$

Упростим выражения в скобках:

$(5c-3d-3d)(5c-3d+3d) = (5c-6d)(5c)$

Для удобства записи поменяем множители местами:

$5c(5c-6d)$

Ответ: $5c(5c-6d)$

6) Дано выражение $49m^2-(n+8m)^2$.

Представим $49m^2$ как $(7m)^2$, чтобы получить разность квадратов: $(7m)^2 - (n+8m)^2$.

Применим формулу, где $a = 7m$ и $b = (n+8m)$:

$(7m)^2 - (n+8m)^2 = (7m - (n+8m))(7m + (n+8m))$

Упростим выражения в скобках:

$(7m-n-8m)(7m+n+8m) = (-m-n)(15m+n)$

Из первого множителя $(-m-n)$ вынесем за скобку -1:

$-(m+n)(15m+n)$

Ответ: $-(m+n)(15m+n)$