Номер 5.51, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.51. Выполните умножение:

1) $(x^n+y^n)(x^n-y^n);$

2) $(a^k-b)(a^k+b);$

3) $(p^m-q^n)(p^m+q^n);$

4) $(a-2)(a+2)(a^2+4);$

5) $(5-x)(5+x)(25+x^2);$

6) $(a-2)^2(a+2)^2.$

1) Для умножения $(x^n+y^n)(x^n-y^n)$ применим формулу сокращенного умножения - разность квадратов: $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

В данном выражении $a = x^n$ и $b = y^n$. Подставив их в формулу, получаем:

$(x^n+y^n)(x^n-y^n) = (x^n)^2 - (y^n)^2$

Используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$, упрощаем выражение:

$(x^n)^2 - (y^n)^2 = x^{2n} - y^{2n}$

Ответ: $x^{2n} - y^{2n}$

2) В этом примере также применяется формула разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Здесь в качестве $a$ выступает $a^k$, а в качестве $b$ - просто $b$.

$(a^k-b)(a^k+b) = (a^k)^2 - b^2$

Упростим, используя свойство степени $(a^m)^k = a^{mk}$:

$(a^k)^2 - b^2 = a^{2k} - b^2$

Ответ: $a^{2k} - b^2$

3) Снова применяем формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

В этом случае $a = p^m$ и $b = q^n$.

$(p^m-q^n)(p^m+q^n) = (p^m)^2 - (q^n)^2$

По свойству степени $(a^m)^k = a^{mk}$ получаем:

$(p^m)^2 - (q^n)^2 = p^{2m} - q^{2n}$

Ответ: $p^{2m} - q^{2n}$

4) В этом примере формула разности квадратов применяется последовательно.

Сначала умножим первые два множителя: $(a-2)(a+2)$.

$(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

Теперь исходное выражение выглядит так: $(a^2-4)(a^2+4)$.

Мы снова получили выражение, к которому можно применить формулу разности квадратов, где $a$ теперь равно $a^2$, а $b$ равно $4$.

$(a^2-4)(a^2+4) = (a^2)^2 - 4^2 = a^4 - 16$

Ответ: $a^4 - 16$

5) Этот пример решается аналогично предыдущему, с последовательным применением формулы разности квадратов.

Умножим первые два множителя: $(5-x)(5+x)$.

$(5-x)(5+x) = 5^2 - x^2 = 25 - x^2$

Подставим полученный результат в исходное выражение: $(25-x^2)(25+x^2)$.

Это снова разность квадратов, где $a=25$ и $b=x^2$.

$(25-x^2)(25+x^2) = 25^2 - (x^2)^2 = 625 - x^4$

Ответ: $625 - x^4$

6) Для решения этого примера воспользуемся свойством степеней: $x^n y^n = (xy)^n$.

$(a-2)^2(a+2)^2 = ((a-2)(a+2))^2$

Сначала выполним умножение в скобках, используя формулу разности квадратов:

$(a-2)(a+2) = a^2 - 2^2 = a^2 - 4$

Теперь исходное выражение равно $(a^2-4)^2$.

Для возведения в квадрат используем формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(a^2-4)^2 = (a^2)^2 - 2 \cdot a^2 \cdot 4 + 4^2 = a^4 - 8a^2 + 16$

Ответ: $a^4 - 8a^2 + 16$