Номер 5.58, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.58. Найдите значение дроби:

1) $\frac{72}{13^2-11^2};$

2) $\frac{79^2-65^2}{420};$

3) $\frac{92^2-48^2}{27^2-17^2};$

4) $\frac{63^2-27^2}{83^2-79^2}.$

1) Для нахождения значения дроби $\frac{72}{13^2 - 11^2}$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ в знаменателе.

Применим формулу к выражению $13^2 - 11^2$:

$13^2 - 11^2 = (13 - 11)(13 + 11) = 2 \cdot 24 = 48$.

Теперь подставим полученное значение знаменателя обратно в дробь:

$\frac{72}{48}$.

Сократим дробь. Оба числа, 72 и 48, делятся на 24:

$\frac{72}{48} = \frac{3 \cdot 24}{2 \cdot 24} = \frac{3}{2} = 1,5$.

Ответ: $1,5$.

2) Для нахождения значения дроби $\frac{79^2 - 65^2}{420}$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ к числителю.

Применим формулу к выражению $79^2 - 65^2$:

$79^2 - 65^2 = (79 - 65)(79 + 65) = 14 \cdot 144$.

Теперь подставим полученное выражение в числитель дроби:

$\frac{14 \cdot 144}{420}$.

Сократим полученную дробь. Заметим, что $420 = 42 \cdot 10 = 3 \cdot 14 \cdot 10 = 30 \cdot 14$.

$\frac{14 \cdot 144}{14 \cdot 30} = \frac{144}{30}$.

Сократим дробь $\frac{144}{30}$ на 6:

$\frac{144 \div 6}{30 \div 6} = \frac{24}{5} = 4,8$.

Ответ: $4,8$.

3) Для нахождения значения дроби $\frac{92^2 - 48^2}{27^2 - 17^2}$ применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ как к числителю, так и к знаменателю.

Преобразуем числитель:

$92^2 - 48^2 = (92 - 48)(92 + 48) = 44 \cdot 140$.

Преобразуем знаменатель:

$27^2 - 17^2 = (27 - 17)(27 + 17) = 10 \cdot 44$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{44 \cdot 140}{10 \cdot 44}$.

Сократим общий множитель 44 в числителе и знаменателе:

$\frac{140}{10} = 14$.

Ответ: $14$.

4) Для нахождения значения дроби $\frac{63^2 - 27^2}{83^2 - 79^2}$ также используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ для числителя и знаменателя.

Преобразуем числитель:

$63^2 - 27^2 = (63 - 27)(63 + 27) = 36 \cdot 90$.

Преобразуем знаменатель:

$83^2 - 79^2 = (83 - 79)(83 + 79) = 4 \cdot 162$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\frac{36 \cdot 90}{4 \cdot 162}$.

Начнем упрощение. Сократим 36 и 4:

$\frac{9 \cdot 90}{162} = \frac{810}{162}$.

Чтобы найти значение дроби, можно заметить, что $162 \cdot 5 = (100 + 60 + 2) \cdot 5 = 500 + 300 + 10 = 810$.

Таким образом, $\frac{810}{162} = 5$.

Ответ: $5$.