Номер 5.61, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.61. Докажите, что при любом натуральном $\text{n}$ значение выражения $(4n+5)^2-9$ делится на 8.

Для доказательства того, что значение выражения $(4n+5)^2-9$ делится на 8 при любом натуральном $n$, преобразуем данное выражение.

Способ 1: Использование формулы разности квадратов.

Представим выражение в виде разности квадратов $a^2-b^2$, которая раскладывается на множители по формуле $(a-b)(a+b)$. В данном случае $a = 4n+5$ и $b^2 = 9$, следовательно, $b=3$.

$(4n+5)^2 - 9 = (4n+5)^2 - 3^2 = ((4n+5) - 3)((4n+5) + 3)$

Упростим выражения в каждой из скобок:

$(4n+2)(4n+8)$

Теперь вынесем общие множители из каждой скобки:

$2(2n+1) \cdot 4(n+2)$

Перемножим числовые множители:

$8(2n+1)(n+2)$

Полученное выражение представляет собой произведение числа 8 и выражения $(2n+1)(n+2)$. Так как $n$ — натуральное число, то $(2n+1)$ и $(n+2)$ являются целыми числами, и их произведение также является целым числом. Следовательно, всё выражение $8(2n+1)(n+2)$ делится на 8 без остатка.

Способ 2: Раскрытие скобок и упрощение.

Раскроем квадрат суммы по формуле $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$:

$(4n+5)^2 - 9 = ((4n)^2 + 2 \cdot 4n \cdot 5 + 5^2) - 9$

Выполним вычисления:

$(16n^2 + 40n + 25) - 9$

Упростим выражение:

$16n^2 + 40n + 16$

Вынесем общий множитель 8 за скобки:

$8(2n^2 + 5n + 2)$

Поскольку $n$ — натуральное число, выражение в скобках $2n^2 + 5n + 2$ всегда будет целым числом. Таким образом, исходное выражение можно представить в виде $8k$, где $k = 2n^2 + 5n + 2$ — целое число. Это доказывает, что значение выражения $(4n+5)^2-9$ всегда делится на 8.

Ответ: Утверждение доказано, так как выражение можно привести к виду $8(2n+1)(n+2)$ или $8(2n^2+5n+2)$, где второй множитель является целым числом при любом натуральном $n$.