Номер 5.66, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.66. Разложите на множители:

1) $a^2+b^2+2ab-1$;

2) $4-25m^2+10mn-n^2$;

3) $81x^2+6ab-9a^2-b^2$;

4) $x^2y^2-4xy-x^2-y^2+1$.

1)Сгруппируем первые три слагаемых, чтобы получить полный квадрат суммы, и затем применим формулу разности квадратов.

$a^2+b^2+2ab-1 = (a^2+2ab+b^2)-1$

Выражение в скобках является квадратом суммы $(a+b)^2$.

$(a+b)^2-1 = (a+b)^2-1^2$

Применяем формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:

$((a+b)-1)((a+b)+1) = (a+b-1)(a+b+1)$

Ответ: $(a+b-1)(a+b+1)$

2)Вынесем знак минус за скобки у последних трех слагаемых, чтобы получить формулу полного квадрата.

$4-25m^2+10mn-n^2 = 4-(25m^2-10mn+n^2)$

Выражение в скобках является квадратом разности $(5m-n)^2$, так как $(5m)^2 - 2 \cdot 5m \cdot n + n^2 = 25m^2-10mn+n^2$.

$4-(5m-n)^2 = 2^2-(5m-n)^2$

Применяем формулу разности квадратов:

$(2-(5m-n))(2+(5m-n)) = (2-5m+n)(2+5m-n)$

Ответ: $(2-5m+n)(2+5m-n)$

3)Сгруппируем слагаемые, содержащие переменные $a$ и $b$, и вынесем знак минус за скобки.

$81x^2+6ab-9a^2-b^2 = 81x^2-(9a^2-6ab+b^2)$

Выражение в скобках является квадратом разности $(3a-b)^2$, так как $(3a)^2 - 2 \cdot 3a \cdot b + b^2 = 9a^2-6ab+b^2$.

$81x^2-(3a-b)^2 = (9x)^2-(3a-b)^2$

Применяем формулу разности квадратов:

$(9x-(3a-b))(9x+(3a-b)) = (9x-3a+b)(9x+3a-b)$

Ответ: $(9x-3a+b)(9x+3a-b)$

4)Перегруппируем слагаемые так, чтобы выделить два полных квадрата и получить разность квадратов.

$x^2y^2-4xy-x^2-y^2+1 = (x^2y^2-2xy+1) - (x^2+2xy+y^2)$

Первая скобка представляет собой квадрат разности $(xy-1)^2$.

Вторая скобка представляет собой квадрат суммы $(x+y)^2$.

Таким образом, выражение преобразуется в:

$(xy-1)^2 - (x+y)^2$

Применяем формулу разности квадратов:

$((xy-1)-(x+y))((xy-1)+(x+y)) = (xy-x-y-1)(xy+x+y-1)$

Ответ: $(xy-x-y-1)(xy+x+y-1)$