Номер 5.63, страница 147 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.63. Разложите на множители:

1) $p^2 - m^2 - k^2 + 2mk;$

2) $a^2b + b^2c + ac^2 - ab^2 - bc^2 - a^2c;$

3) $(x + 3y)^2 - y^2 + 2xy - x^2;$

4) $a^4 + b^4 + 2a^3b + 2a^2b^2 + 2ab^3.$

1) Исходное выражение: $p² - m² - k² + 2mk$.

Сгруппируем слагаемые, чтобы выделить полный квадрат. Обратим внимание на члены $-m², -k², +2mk$. Вынесем знак минус за скобки:

$p² - (m² - 2mk + k²)$

Выражение в скобках представляет собой формулу квадрата разности: $m² - 2mk + k² = (m - k)²$.

Подставим это в наше выражение, и оно примет вид разности квадратов:

$p² - (m - k)²$

Воспользуемся формулой разности квадратов $a² - b² = (a - b)(a + b)$, где $a=p$ и $b=m-k$:

$(p - (m - k))(p + (m - k))$

Раскроем внутренние скобки, чтобы получить окончательный вид:

$(p - m + k)(p + m - k)$

Ответ: $(p - m + k)(p + m - k)$.

2) Исходное выражение: $a²b + b²c + ac² - ab² - bc² - a²c$.

Сгруппируем слагаемые по степеням переменной $a$.

Сначала сгруппируем члены, содержащие $a²$: $a²b - a²c = a²(b - c)$.

Затем члены, содержащие $a$ в первой степени: $ac² - ab² = -a(b² - c²) = -a(b - c)(b + c)$.

И, наконец, члены, не содержащие $a$: $b²c - bc² = bc(b - c)$.

Теперь соберем все вместе:

$a²(b - c) - a(b - c)(b + c) + bc(b - c)$

Вынесем общий множитель $(b - c)$ за скобки:

$(b - c)(a² - a(b + c) + bc)$

Раскроем скобки во втором множителе: $(b - c)(a² - ab - ac + bc)$.

Сгруппируем слагаемые во втором множителе методом группировки:

$(b - c)((a² - ab) - (ac - bc))$

Вынесем общие множители из каждой группы: $(b - c)(a(a - b) - c(a - b))$.

Вынесем общий множитель $(a - b)$: $(b - c)(a - b)(a - c)$.

Ответ: $(a - b)(b - c)(a - c)$.

3) Исходное выражение: $(x + 3y)² - y² + 2xy - x²$.

Перегруппируем слагаемые, выделив полный квадрат из последних трех членов:

$(x + 3y)² - (x² - 2xy + y²)$

Выражение в скобках $x² - 2xy + y²$ является полным квадратом разности: $(x - y)²$.

Подставим это в выражение, получив разность квадратов:

$(x + 3y)² - (x - y)²$

Применим формулу разности квадратов $a² - b² = (a - b)(a + b)$, где $a = x + 3y$ и $b = x - y$:

$((x + 3y) - (x - y))((x + 3y) + (x - y))$

Упростим выражение в каждом из множителей.

Первый множитель: $x + 3y - x + y = 4y$.

Второй множитель: $x + 3y + x - y = 2x + 2y = 2(x + y)$.

Перемножим полученные выражения: $4y \cdot 2(x + y) = 8y(x + y)$.

Ответ: $8y(x + y)$.

4) Исходное выражение: $a⁴ + b⁴ + 2a³b + 2a²b² + 2ab³$.

Перегруппируем слагаемые, чтобы выделить известные формулы. Объединим $a⁴$, $b⁴$ и $2a²b²$:

$(a⁴ + 2a²b² + b⁴) + (2a³b + 2ab³)$

Первая группа слагаемых является полным квадратом суммы: $(a²)² + 2a²b² + (b²)² = (a² + b²)²$.

Во второй группе вынесем за скобки общий множитель $2ab$: $2ab(a² + b²)$.

Теперь выражение выглядит так:

$(a² + b²)² + 2ab(a² + b²)$

Мы видим общий множитель $(a² + b²)$, который можно вынести за скобки:

$(a² + b²)((a² + b²) + 2ab)$

Выражение во вторых скобках $a² + b² + 2ab$ также является полным квадратом суммы: $(a + b)²$.

Таким образом, окончательный результат разложения:

$(a² + b²)(a + b)²$

Ответ: $(a² + b²)(a + b)²$.