Номер 5.55, страница 146 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.55. Представьте выражение в виде произведения:

1) $(a+2)^2-1$;

2) $16-(x+y)^2$;

3) $(5y-6)^2-49$;

4) $(m-7)^2-64$;

5) $16a^2-(4a+6)^2$;

6) $x^6-(2y^2-x^3)^2$.

1) Данное выражение представляет собой разность квадратов вида $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

В выражении $(a+2)^2-1$ можно представить $1$ как $1^2$. Тогда $A = a+2$ и $B = 1$.

Применим формулу разности квадратов:

$(a+2)^2 - 1^2 = ((a+2)-1)((a+2)+1)$

Упростим выражения в скобках:

$(a+2-1)(a+2+1) = (a+1)(a+3)$

Ответ: $(a+1)(a+3)$

2) Выражение $16-(x+y)^2$ является разностью квадратов. Представим $16$ как $4^2$.

Получаем $4^2 - (x+y)^2$. Здесь $A=4$ и $B=x+y$.

Используем формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$4^2 - (x+y)^2 = (4-(x+y))(4+(x+y)) = (4-x-y)(4+x+y)$

Ответ: $(4-x-y)(4+x+y)$

3) В выражении $(5y-6)^2-49$ представим $49$ как $7^2$.

Получаем разность квадратов $(5y-6)^2 - 7^2$, где $A=5y-6$ и $B=7$.

Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$((5y-6)-7)((5y-6)+7)$

Упростим скобки:

$(5y-6-7)(5y-6+7) = (5y-13)(5y+1)$

Ответ: $(5y-13)(5y+1)$

4) В выражении $(m-7)^2-64$ представим $64$ как $8^2$.

Получаем разность квадратов $(m-7)^2 - 8^2$, где $A=m-7$ и $B=8$.

По формуле $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ имеем:

$((m-7)-8)((m-7)+8)$

Упрощаем:

$(m-7-8)(m-7+8) = (m-15)(m+1)$

Ответ: $(m-15)(m+1)$

5) Выражение $16a^2-(4a+6)^2$ является разностью квадратов. Представим $16a^2$ как $(4a)^2$.

Получаем $(4a)^2 - (4a+6)^2$. Здесь $A=4a$ и $B=4a+6$.

Применим формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$(4a - (4a+6))(4a + (4a+6))$

Упростим выражения в каждой скобке:

$(4a - 4a - 6)(4a + 4a + 6) = (-6)(8a+6)$

Вынесем общий множитель $2$ из второй скобки:

$-6 \cdot 2(4a+3) = -12(4a+3)$

Ответ: $-12(4a+3)$

6) В выражении $x^6-(2y^2-x^3)^2$ представим $x^6$ как $(x^3)^2$.

Получаем разность квадратов $(x^3)^2 - (2y^2-x^3)^2$. Здесь $A=x^3$ и $B=2y^2-x^3$.

Используем формулу $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$:

$(x^3 - (2y^2-x^3))(x^3 + (2y^2-x^3))$

Раскроем внутренние скобки и упростим:

$(x^3 - 2y^2 + x^3)(x^3 + 2y^2 - x^3) = (2x^3 - 2y^2)(2y^2)$

Вынесем общий множитель $2$ из первой скобки:

$2(x^3 - y^2)(2y^2) = 4y^2(x^3-y^2)$

Ответ: $4y^2(x^3-y^2)$