Номер 5.79, страница 150 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.79. Упростите выражение:

1) $(a+1)(a^2-a+1)-a^3;$

2) $(x+y)(x^2-xy+y^2)-x(x^2+y^2);$

3) $(m-2)(m^2+2m+4)+8;$

4) $(c+3)(c^2-3c+9)-27.$

1) Для упрощения выражения $(a+1)(a^2-a+1)-a^3$ воспользуемся формулой сокращенного умножения для суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

В данном выражении $x=a$ и $y=1$. Произведение $(a+1)(a^2-a \cdot 1+1^2)$ полностью соответствует левой части формулы.

Таким образом, $(a+1)(a^2-a+1) = a^3+1^3 = a^3+1$.

Теперь подставим полученный результат в исходное выражение:

$(a^3+1) - a^3 = a^3 - a^3 + 1 = 1$.

Ответ: 1

2) Рассмотрим выражение $(x+y)(x^2-xy+y^2)-x(x^2+y^2)$.

Первая часть выражения, $(x+y)(x^2-xy+y^2)$, является формулой суммы кубов, которая равна $x^3+y^3$.

Вторая часть выражения, $-x(x^2+y^2)$, раскрывается путем умножения $-x$ на каждый член в скобках: $-x \cdot x^2 - x \cdot y^2 = -x^3-xy^2$.

Теперь объединим обе упрощенные части:

$(x^3+y^3) + (-x^3-xy^2) = x^3+y^3-x^3-xy^2$.

Приведем подобные слагаемые, сокращая $x^3$ и $-x^3$:

$y^3-xy^2$.

Ответ: $y^3-xy^2$

3) Чтобы упростить выражение $(m-2)(m^2+2m+4)+8$, используем формулу разности кубов: $(x-y)(x^2+xy+y^2) = x^3-y^3$.

В нашем случае $x=m$ и $y=2$. Произведение $(m-2)(m^2+m \cdot 2+2^2)$ соответствует левой части формулы.

Следовательно, $(m-2)(m^2+2m+4) = m^3-2^3 = m^3-8$.

Подставим результат в исходное выражение:

$(m^3-8)+8 = m^3-8+8 = m^3$.

Ответ: $m^3$

4) В выражении $(c+3)(c^2-3c+9)-27$ первая часть является формулой суммы кубов: $(x+y)(x^2-xy+y^2) = x^3+y^3$.

Здесь $x=c$ и $y=3$. Применяя формулу, получаем:

$(c+3)(c^2-c \cdot 3+3^2) = c^3+3^3 = c^3+27$.

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

$(c^3+27)-27 = c^3+27-27 = c^3$.

Ответ: $c^3$