Номер 5.40, страница 144 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.40. Представьте двучлен в виде произведения разности и суммы:

1) $x^2 - y^2$;

2) $m^2 - n^2$;

3) $c^2 - 25$;

4) $a^2 - 1$;

5) $25 - a^2$;

6) $49 - b^2$;

7) $100 - p^2$;

8) $m^2 - 400$;

9) $b^2 - 0.04$;

10) $1.21 - x^2$;

11) $n^2 - \frac{4}{9}$;

12) $\frac{25}{64} - p^2$.

Для решения всех пунктов используется формула сокращенного умножения "разность квадратов": $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

1) В двучлене $x^2-y^2$ первое слагаемое является квадратом $x$, а второе — квадратом $y$. Применяем формулу разности квадратов напрямую, где $a=x$ и $b=y$.

$x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$.

Ответ: $(x-y)(x+y)$.

2) Аналогично предыдущему примеру, в двучлене $m^2-n^2$ слагаемые являются квадратами $m$ и $n$. Применяем формулу, где $a=m$ и $b=n$.

$m^2-n^2 = (m-n)(m+n)$.

Ответ: $(m-n)(m+n)$.

3) В выражении $c^2-25$ необходимо представить число 25 в виде квадрата. Мы знаем, что $25 = 5^2$.

Теперь двучлен имеет вид $c^2-5^2$. Применяем формулу, где $a=c$ и $b=5$.

$c^2-25 = c^2-5^2 = (c-5)(c+5)$.

Ответ: $(c-5)(c+5)$.

4) В двучлене $a^2-1$ представим 1 как $1^2$.

Выражение принимает вид $a^2-1^2$. Применяем формулу разности квадратов, где $a=a$ и $b=1$.

$a^2-1 = a^2-1^2 = (a-1)(a+1)$.

Ответ: $(a-1)(a+1)$.

5) В выражении $25-a^2$ представим 25 как $5^2$.

Двучлен принимает вид $5^2-a^2$. Применяем формулу, где $a=5$ и $b=a$.

$25-a^2 = 5^2-a^2 = (5-a)(5+a)$.

Ответ: $(5-a)(5+a)$.

6) В двучлене $49-b^2$ представим 49 как квадрат числа: $49=7^2$.

Получаем выражение $7^2-b^2$. Применяем формулу, где $a=7$ и $b=b$.

$49-b^2 = 7^2-b^2 = (7-b)(7+b)$.

Ответ: $(7-b)(7+b)$.

7) В выражении $100-p^2$ представим 100 как $10^2$.

Двучлен принимает вид $10^2-p^2$. Применяем формулу, где $a=10$ и $b=p$.

$100-p^2 = 10^2-p^2 = (10-p)(10+p)$.

Ответ: $(10-p)(10+p)$.

8) В двучлене $m^2-400$ представим 400 как квадрат числа: $400=20^2$.

Выражение принимает вид $m^2-20^2$. Применяем формулу, где $a=m$ и $b=20$.

$m^2-400 = m^2-20^2 = (m-20)(m+20)$.

Ответ: $(m-20)(m+20)$.

9) В выражении $b^2-0,04$ представим десятичную дробь 0,04 как квадрат числа: $0,04 = 0,2^2$.

Двучлен принимает вид $b^2-0,2^2$. Применяем формулу, где $a=b$ и $b=0,2$.

$b^2-0,04 = b^2-0,2^2 = (b-0,2)(b+0,2)$.

Ответ: $(b-0,2)(b+0,2)$.

10) В двучлене $1,21-x^2$ представим 1,21 как квадрат числа: $1,21=1,1^2$.

Получаем выражение $1,1^2-x^2$. Применяем формулу, где $a=1,1$ и $b=x$.

$1,21-x^2 = 1,1^2-x^2 = (1,1-x)(1,1+x)$.

Ответ: $(1,1-x)(1,1+x)$.

11) В выражении $n^2 - \frac{4}{9}$ представим дробь $\frac{4}{9}$ как квадрат: $\frac{4}{9} = (\frac{2}{3})^2$.

Двучлен принимает вид $n^2 - (\frac{2}{3})^2$. Применяем формулу, где $a=n$ и $b=\frac{2}{3}$.

$n^2 - \frac{4}{9} = n^2 - (\frac{2}{3})^2 = (n - \frac{2}{3})(n + \frac{2}{3})$.

Ответ: $(n - \frac{2}{3})(n + \frac{2}{3})$.

12) В двучлене $\frac{25}{64} - p^2$ представим дробь $\frac{25}{64}$ как квадрат: $\frac{25}{64} = (\frac{5}{8})^2$.

Выражение принимает вид $(\frac{5}{8})^2 - p^2$. Применяем формулу, где $a=\frac{5}{8}$ и $b=p$.

$\frac{25}{64} - p^2 = (\frac{5}{8})^2 - p^2 = (\frac{5}{8} - p)(\frac{5}{8} + p)$.

Ответ: $(\frac{5}{8} - p)(\frac{5}{8} + p)$.