Номер 5.4, страница 138 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

5.4. Преобразуйте выражение в многочлен:

1) $(-a+2)^2$

2) $(-b-3)^2$

3) $(-n+4)^2$

4) $(-x-10)^2$

5) $(-2x-3y)^2$

6) $(-\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)^2$

7) $(-\frac{1}{3}x - 6)^2$

8) $(-c + \frac{b}{4})^2$

1) Для преобразования выражения $(-a+2)^2$ в многочлен используем формулу сокращенного умножения для квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$. Для этого поменяем местами слагаемые в скобках:

$(-a+2)^2 = (2-a)^2 = 2^2 - 2 \cdot 2 \cdot a + a^2 = 4 - 4a + a^2$.

Результат принято записывать в стандартном виде, располагая члены по убыванию степеней переменной.

Ответ: $a^2 - 4a + 4$.

2) В выражении $(-b-3)^2$ можно вынести знак минус за скобки. Поскольку квадрат отрицательного числа равен квадрату соответствующего положительного числа, получаем: $(-b-3)^2 = (-(b+3))^2 = (b+3)^2$.

Теперь применим формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(b+3)^2 = b^2 + 2 \cdot b \cdot 3 + 3^2 = b^2 + 6b + 9$.

Ответ: $b^2 + 6b + 9$.

3) Выражение $(-n+4)^2$ аналогично первому примеру. Поменяем слагаемые местами и применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(-n+4)^2 = (4-n)^2 = 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot n + n^2 = 16 - 8n + n^2$.

Запишем в стандартном виде.

Ответ: $n^2 - 8n + 16$.

4) В выражении $(-x-10)^2$ вынесем минус за скобки, как во втором примере: $(-x-10)^2 = (-(x+10))^2 = (x+10)^2$.

Используем формулу квадрата суммы $(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$:

$(x+10)^2 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 10 + 10^2 = x^2 + 20x + 100$.

Ответ: $x^2 + 20x + 100$.

5) Выражение $(-2x-3y)^2$ преобразуется по аналогии с примерами 2 и 4. Вынесем минус за скобки: $(-2x-3y)^2 = (-(2x+3y))^2 = (2x+3y)^2$.

Применим формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, где $a=2x$ и $b=3y$:

$(2x+3y)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot (3y) + (3y)^2 = 4x^2 + 12xy + 9y^2$.

Ответ: $4x^2 + 12xy + 9y^2$.

6) В выражении $(-\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)^2$ поменяем слагаемые местами и применим формулу квадрата разности $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$:

$(-\frac{1}{3}a + \frac{1}{2}b)^2 = (\frac{1}{2}b - \frac{1}{3}a)^2 = (\frac{1}{2}b)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}b) \cdot (\frac{1}{3}a) + (\frac{1}{3}a)^2 = \frac{1}{4}b^2 - \frac{2}{6}ab + \frac{1}{9}a^2 = \frac{1}{4}b^2 - \frac{1}{3}ab + \frac{1}{9}a^2$.

Запишем в стандартном виде.

Ответ: $\frac{1}{9}a^2 - \frac{1}{3}ab + \frac{1}{4}b^2$.

7) Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$.

Выражение примет вид $(-\frac{4}{3}x - 6)^2$. Вынесем минус за скобки: $(-\frac{4}{3}x - 6)^2 = (-(\frac{4}{3}x + 6))^2 = (\frac{4}{3}x + 6)^2$.

Используем формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$:

$(\frac{4}{3}x + 6)^2 = (\frac{4}{3}x)^2 + 2 \cdot \frac{4}{3}x \cdot 6 + 6^2 = \frac{16}{9}x^2 + \frac{48}{3}x + 36 = \frac{16}{9}x^2 + 16x + 36$.

Ответ: $\frac{16}{9}x^2 + 16x + 36$.

8) Поменяем слагаемые местами в выражении $(-c + \frac{b}{4})^2$, чтобы получить $(\frac{b}{4} - c)^2$.

Применим формулу квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$:

$(\frac{b}{4} - c)^2 = (\frac{b}{4})^2 - 2 \cdot \frac{b}{4} \cdot c + c^2 = \frac{b^2}{16} - \frac{2bc}{4} + c^2 = \frac{b^2}{16} - \frac{bc}{2} + c^2$.

Запишем в стандартном виде.

Ответ: $c^2 - \frac{bc}{2} + \frac{b^2}{16}$.