Вопросы, страница 137 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1. Какие равенства называются формулами сокращенного умножения?

2. Чему равен квадрат суммы двух выражений? Напишите формулу.

3. Чему равен квадрат разности двух выражений? Напишите формулу.

4. Докажите формулы (1) и (2).

1. Какие равенства называются формулами сокращенного умножения?

Формулами сокращенного умножения называют алгебраические тождества (равенства, верные для любых значений переменных), которые позволяют выполнять умножение некоторых многочленов по готовым шаблонам. Использование этих формул значительно ускоряет и упрощает вычисления, разложение выражений на множители и решение уравнений.

Основные формулы сокращенного умножения:

• Квадрат суммы: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $
• Квадрат разности: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $
• Разность квадратов: $ a^2 - b^2 = (a-b)(a+b) $
• Куб суммы: $ (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 $
• Куб разности: $ (a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 $
• Сумма кубов: $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) $
• Разность кубов: $ a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2) $

2. Чему равен квадрат суммы двух выражений? Напишите формулу.

Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения, плюс удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Формула имеет вид: $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

Ответ: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

3. Чему равен квадрат разности двух выражений? Напишите формулу.

Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения, минус удвоенное произведение первого и второго выражений, плюс квадрат второго выражения.

Формула имеет вид: $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Ответ: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

4. Докажите формулы (1) и (2).

Под формулами (1) и (2) в данном контексте подразумеваются формула квадрата суммы и формула квадрата разности.

Доказательство формулы (1) - квадрата суммы:

Требуется доказать тождество $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $.

По определению степени, $ (a+b)^2 $ это $ (a+b)(a+b) $.

Раскроем скобки, умножая каждый член первого многочлена на каждый член второго:

$ (a+b)(a+b) = a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b $

Используя свойство степени ($ a \cdot a = a^2 $) и коммутативный закон умножения ($ b \cdot a = a \cdot b $), получим:

$ a^2 + ab + ab + b^2 $

Приведем подобные слагаемые:

$ a^2 + 2ab + b^2 $

Таким образом, тождество $ (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 $ доказано.

Доказательство формулы (2) - квадрата разности:

Требуется доказать тождество $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $.

Представим $ (a-b)^2 $ как $ (a-b)(a-b) $.

Раскроем скобки:

$ (a-b)(a-b) = a \cdot a + a \cdot (-b) + (-b) \cdot a + (-b) \cdot (-b) $

Упростим выражение:

$ a^2 - ab - ba + b^2 $

Приведем подобные слагаемые, учитывая, что $ ba = ab $:

$ a^2 - 2ab + b^2 $

Таким образом, тождество $ (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 $ доказано.

Ответ: Доказательство обеих формул основано на представлении квадрата в виде произведения двух одинаковых скобок и последующем применении правила умножения многочленов с приведением подобных слагаемых.