Номер 4.39, страница 134 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

4.39. На рисунке 4.4 изображен полигон частот размеров мужской обуви, проданной в магазине за 1 день. По графику найдите:

1) объем выборки;

2) вариационный ряд абсолютных (или относительных) частот;

3) размах выборки;

4) моду и медиану;

5) среднее арифметическое значение.

Абсолютные частоты (число продаж каждого размера обуви) $n_i$

$x_i$ Размер обуви

Рис. 4.4

Для решения задачи сначала составим таблицу частот на основе данных полигона, где $x_i$ - размер обуви, а $n_i$ - абсолютная частота (количество проданных пар).

$x_1=38, n_1=1$

$x_2=39, n_2=3$

$x_3=40, n_3=6$

$x_4=41, n_4=8$

$x_5=42, n_5=7$

$x_6=43, n_6=4$

$x_7=44, n_7=2$

$x_8=45, n_8=1$

1) объем выборки

Объем выборки $N$ — это общее количество проданных пар обуви, которое равно сумме всех абсолютных частот:

$N = \sum_{i=1}^{8} n_i = 1 + 3 + 6 + 8 + 7 + 4 + 2 + 1 = 32$

Ответ: 32.

2) вариационный ряд абсолютных (или относительных) частот

Вариационный ряд частот представляет собой таблицу, в которой каждому значению размера обуви ($x_i$) ставится в соответствие его абсолютная частота ($n_i$) и относительная частота ($W_i = n_i / N$).

Ответ: вариационный ряд представлен в таблице выше.

3) размах выборки

Размах выборки $R$ — это разность между максимальным и минимальным значениями вариант в выборке.

$x_{max} = 45$

$x_{min} = 38$

$R = x_{max} - x_{min} = 45 - 38 = 7$

Ответ: 7.

4) моду и медиану

Мода ($Mo$) — это варианта с наибольшей частотой. Из графика и таблицы видно, что наибольшая частота $n=8$ соответствует размеру обуви 41.

$Mo = 41$

Медиана ($Me$) — это значение, которое делит упорядоченный вариационный ряд на две равные по численности части. Объем выборки $N = 32$ (четное число). Медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных значений, стоящих на позициях $N/2$ и $N/2 + 1$.

Номера позиций: $32/2 = 16$ и $16 + 1 = 17$.

Найдем, каким размерам соответствуют 16-е и 17-е значения, используя накопленные частоты:

Размеры до 40 включительно: $1+3+6=10$ пар.

Размеры до 41 включительно: $10+8=18$ пар.

Следовательно, и 16-я, и 17-я проданные пары в упорядоченном ряду имеют размер 41.

$Me = \frac{41 + 41}{2} = 41$

Ответ: мода $Mo = 41$, медиана $Me = 41$.

5) среднее арифметическое значение

Среднее арифметическое значение для сгруппированных данных (взвешенное среднее) вычисляется по формуле:

$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} x_i n_i}{N}$

Вычислим сумму произведений вариант на их частоты:

$\sum x_i n_i = (38 \cdot 1) + (39 \cdot 3) + (40 \cdot 6) + (41 \cdot 8) + (42 \cdot 7) + (43 \cdot 4) + (44 \cdot 2) + (45 \cdot 1)$

$\sum x_i n_i = 38 + 117 + 240 + 328 + 294 + 172 + 88 + 45 = 1322$

Теперь найдем среднее арифметическое:

$\bar{x} = \frac{1322}{32} = 41.3125$

Ответ: 41,3125.