Номер 4.35, страница 133 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Данные из упражнений 4.28-4.35 введите в Excel. Постройте по ним полигон частот. Найдите $x_{max}$ и $x_{min}$ в выборке. Найдите размах выборки.

4.35. При изучении некоторой генеральной совокупности по результатам 40 независимых наблюдений получены данные:

10 13 10 9 9 12 12 6 7 9

8 9 11 9 14 13 9 8 8 7

10 10 11 11 11 12 8 7 9 10

14 13 8 10 9 7 10 9 8 12

а) Составьте вариационный ряд;

б) составьте вариационный ряд относительных частот;

в) постройте полигон частот.

В соответствии с общим заданием, сначала найдем минимальное и максимальное значения в выборке, а также размах выборки. Объем выборки $n = 40$.

Просмотрев все 40 наблюдений, находим:

Минимальное значение в выборке (наименьшая варианта): $x_{min} = 6$.

Максимальное значение в выборке (наибольшая варианта): $x_{max} = 14$.

Размах выборки $R$ — это разность между максимальным и минимальным значениями:

$R = x_{max} - x_{min} = 14 - 6 = 8$.

Ответ: $x_{min} = 6$, $x_{max} = 14$, размах выборки равен 8.

а) Составьте вариационный ряд

Вариационный ряд (или ряд распределения частот) представляет собой упорядоченную совокупность вариант $x_i$ с соответствующими им частотами $n_i$.

Сначала определим все уникальные значения (варианты) в выборке и расположим их в порядке возрастания: 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14.

Затем подсчитаем частоту $n_i$ (сколько раз каждое значение встречается в исходных данных):

• Частота для $x_1=6$: $n_1 = 1$
• Частота для $x_2=7$: $n_2 = 4$
• Частота для $x_3=8$: $n_3 = 6$
• Частота для $x_4=9$: $n_4 = 9$
• Частота для $x_5=10$: $n_5 = 7$
• Частота для $x_6=11$: $n_6 = 4$
• Частота для $x_7=12$: $n_7 = 4$
• Частота для $x_8=13$: $n_8 = 3$
• Частота для $x_9=14$: $n_9 = 2$

Контрольная проверка: сумма всех частот должна быть равна объему выборки $n=40$.

$\sum n_i = 1 + 4 + 6 + 9 + 7 + 4 + 4 + 3 + 2 = 40$.

Вариационный ряд в виде таблицы:

Ответ: Вариационный ряд частот представлен в таблице выше.

б) составьте вариационный ряд относительных частот

Относительная частота $w_i$ вычисляется по формуле $w_i = \frac{n_i}{n}$, где $n_i$ – частота варианты, а $n=40$ – объем выборки.

• $w_1 = \frac{1}{40} = 0.025$
• $w_2 = \frac{4}{40} = 0.100$
• $w_3 = \frac{6}{40} = 0.150$
• $w_4 = \frac{9}{40} = 0.225$
• $w_5 = \frac{7}{40} = 0.175$
• $w_6 = \frac{4}{40} = 0.100$
• $w_7 = \frac{4}{40} = 0.100$
• $w_8 = \frac{3}{40} = 0.075$
• $w_9 = \frac{2}{40} = 0.050$

Контрольная проверка: сумма относительных частот должна быть равна 1.

$\sum w_i = 0.025 + 0.100 + 0.150 + 0.225 + 0.175 + 0.100 + 0.100 + 0.075 + 0.050 = 1.000$.

Вариационный ряд относительных частот в виде таблицы:

Ответ: Вариационный ряд относительных частот представлен в таблице выше.

в) постройте полигон частот

Полигон частот — это графическое представление вариационного ряда в виде ломаной линии. Для его построения на координатной плоскости откладывают точки с координатами $(x_i, n_i)$, где $x_i$ — варианта, а $n_i$ — ее частота, и соединяют их последовательно отрезками.

Построение осуществляется в несколько шагов:

1. Строится система координат: по оси абсцисс (горизонтальной) откладываются значения вариант $x_i$, по оси ординат (вертикальной) — значения частот $n_i$.
2. На координатной плоскости отмечаются точки с координатами $(x_i, n_i)$ на основе данных из вариационного ряда частот (пункт а): 6, 1), (7, 4), (8, 6), (9, 9), (10, 7), (11, 4), (12, 4), (13, 3), (14, 2).
3. Отмеченные точки последовательно соединяются отрезками прямых, образуя ломаную линию.

Полученная ломаная линия является полигоном частот для данной выборки. Он наглядно показывает, как меняется частота с изменением значения варианты. Пик полигона приходится на точку (9, 9), что соответствует модальному значению выборки.

Ответ: Полигон частот — это ломаная, последовательно соединяющая точки с координатами (6, 1), (7, 4), (8, 6), (9, 9), (10, 7), (11, 4), (12, 4), (13, 3) и (14, 2).