Номер 4.31, страница 132 - гдз по алгебре 7 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Данные из упражнений 4.28-4.35 введите в Excel. Постройте по ним полигон частот. Найдите $x_{max}$ и $x_{min}$ в выборке. Найдите размах выборки.

4.31. 30 52 72 25 62 45 65 82 39 56

58 45 55 32 55 82 38 63 43 84

46 32 58 45 58 26 65 45 62 78

42 70 52 38 55 60 58 43 58 69

52 55 28 58 43 42 35 64 46 75

35 64 43 42 58 52 55 32 55 59

43 62 34 52 37 68 42 56 65 72

42 52 58 25 52 55 43 35 62 65

58 36 66 38 46 68 58 64 43 74

52 41 45 47 32 69 39 58 52 56

Для решения задачи сначала найдем минимальное и максимальное значения выборки и ее размах, так как эти данные необходимы для построения полигона частот.

Найдите $x_{max}$ и $x_{min}$ в выборке.

Для нахождения максимального ($x_{max}$) и минимального ($x_{min}$) значений необходимо проанализировать все 100 числовых значений в предоставленной выборке.

Внимательно просмотрев данные, находим:

- Самое меньшее значение в выборке: $x_{min} = 25$.

- Самое большее значение в выборке: $x_{max} = 84$.

Ответ: $x_{min} = 25$, $x_{max} = 84$.

Найдите размах выборки.

Размах выборки ($R$) определяется как разность между ее максимальным и минимальным значениями.

Формула для вычисления размаха:

$R = x_{max} - x_{min}$

Подставляя найденные ранее значения, получаем:

$R = 84 - 25 = 59$

Ответ: 59.

Постройте по ним полигон частот.

Построение полигона частот выполняется в несколько этапов.

1. Определение количества интервалов.

Для определения оптимального количества интервалов ($k$) для группировки данных воспользуемся формулой Стерджесса. Объем выборки $n = 100$.

$k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(n)$

$k \approx 1 + 3.322 \cdot \log_{10}(100) = 1 + 3.322 \cdot 2 = 7.644$

Округлим полученное значение до целого. Выберем $k=8$ интервалов.

2. Определение ширины интервала.

Ширина интервала ($h$) рассчитывается по формуле:

$h = \frac{R}{k} = \frac{59}{8} = 7.375$

Для удобства расчетов округлим ширину интервала до целого значения, например, $h=8$.

3. Составление таблицы частот.

Начиная с $x_{min} = 25$ и используя ширину $h=8$, формируем интервалы и подсчитываем количество элементов выборки (частоту), попадающих в каждый из них.

4. Построение графика.

Полигон частот представляет собой ломаную линию. Для его построения на оси абсцисс откладываются середины интервалов ($x_i$), а на оси ординат — соответствующие им частоты ($n_i$). Точки с полученными координатами соединяются отрезками. Для завершения полигона крайние точки соединяют с осью абсцисс в точках, отстоящих на одну ширину интервала от середин крайних интервалов.

Точки для построения полигона:

Начальная точка на оси Ox: $(29-8; 0) = (21; 0)$.

Точки данных: $(29; 9)$, $(37; 11)$, $(45; 21)$, $(53; 19)$, $(61; 21)$, $(69; 13)$, $(77; 3)$, $(85; 3)$.

Конечная точка на оси Ox: $(85+8; 0) = (93; 0)$.

В Excel необходимо создать диаграмму типа "Точечная с прямыми отрезками и маркерами", используя в качестве значений X середины интервалов (включая начальную и конечную точки на оси), а в качестве значений Y — частоты (включая нули для крайних точек).

Ответ: Полигон частот строится как ломаная, последовательно соединяющая точки: $(21; 0)$, $(29; 9)$, $(37; 11)$, $(45; 21)$, $(53; 19)$, $(61; 21)$, $(69; 13)$, $(77; 3)$, $(85; 3)$ и $(93; 0)$.