Номер 62, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

62 Рассмотрите данные о числе жителей крупнейших городов России (см. табл. 25), исключив Москву и Санкт-Петербург.

а) Вычислите среднее значение числа жителей этих городов в 2021 г.

б) Вычислите медиану числа жителей этих городов в 2021 г.

в) Сильно ли, с вашей точки зрения, различаются медиана и среднее значение?

Для решения задачи воспользуемся данными о численности населения городов-миллионников России на 1 января 2021 года (согласно данным Росстата), исключив Москву и Санкт-Петербург. В этот список входят 14 городов:

• Новосибирск: 1 633 595 чел.
• Екатеринбург: 1 495 066 чел.
• Казань: 1 257 341 чел.
• Нижний Новгород: 1 244 254 чел.
• Челябинск: 1 187 960 чел.
• Красноярск: 1 187 771 чел.
• Самара: 1 144 759 чел.
• Уфа: 1 125 933 чел.
• Ростов-на-Дону: 1 137 704 чел.
• Омск: 1 129 281 чел.
• Краснодар: 1 099 344 чел.
• Воронеж: 1 050 604 чел.
• Пермь: 1 042 763 чел.
• Волгоград: 1 004 763 чел.

а) Вычислите среднее значение числа жителей этих городов в 2021 г.

Среднее арифметическое значение вычисляется как сумма всех значений, деленная на их количество. Формула для среднего значения ($\bar{x}$) выглядит так:
$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$
где $x_i$ — число жителей в i-том городе, а $n$ — общее количество городов.
Сначала найдем сумму числа жителей всех 14 городов:
$S = 1633595 + 1495066 + 1257341 + 1244254 + 1187960 + 1187771 + 1144759 + 1137704 + 1129281 + 1125933 + 1099344 + 1050604 + 1042763 + 1004763 = 16741138$
Теперь разделим сумму на количество городов ($n=14$):
$\bar{x} = \frac{16741138}{14} \approx 1195795.57$
Округлим до целого числа, так как речь идет о людях.

Ответ: Среднее значение числа жителей составляет примерно 1 195 796 человек.

б) Вычислите медиану числа жителей этих городов в 2021 г.

Медиана — это значение, которое находится в середине упорядоченного ряда данных. Сначала отсортируем данные о численности населения по возрастанию:

1. Волгоград: 1 004 763
2. Пермь: 1 042 763
3. Воронеж: 1 050 604
4. Краснодар: 1 099 344
5. Уфа: 1 125 933
6. Омск: 1 129 281
7. Ростов-на-Дону: 1 137 704
8. Самара: 1 144 759
9. Красноярск: 1 187 771
10. Челябинск: 1 187 960
11. Нижний Новгород: 1 244 254
12. Казань: 1 257 341
13. Екатеринбург: 1 495 066
14. Новосибирск: 1 633 595

Поскольку у нас четное число наблюдений ($n=14$), медиана будет равна среднему арифметическому двух центральных значений. Это 7-е и 8-е значения в отсортированном списке.
7-е значение: 1 137 704
8-е значение: 1 144 759
Вычисляем медиану ($Me$):
$Me = \frac{1137704 + 1144759}{2} = \frac{2282463}{2} = 1141231.5$

Ответ: Медиана числа жителей составляет 1 141 231.5 человек.

в) Сильно ли, с вашей точки зрения, различаются медиана и среднее значение?

Сравним полученные значения:
Среднее значение $\approx$ 1 195 796 чел.
Медиана = 1 141 231.5 чел.
Абсолютная разница между ними составляет:
$1195796 - 1141231.5 = 54564.5$ человека.
Чтобы оценить, насколько "сильно" это различие, можно рассчитать относительную разницу в процентах, например, по отношению к медиане:
$\frac{54564.5}{1141231.5} \times 100\% \approx 4.78\%$
Среднее значение выше медианы. Это указывает на "правостороннюю асимметрию" в данных: наличие нескольких городов (Новосибирск, Екатеринбург) с населением, значительно превышающим население большинства других городов в выборке, "тянет" среднее значение вверх. Медиана же менее чувствительна к таким выбросам и лучше отражает "типичный" город-миллионник из данного списка.

Ответ: Разница составляет почти 55 тысяч человек, или около 4.8%. Такое различие нельзя назвать незначительным, но и не является оно чрезмерно большим. Можно охарактеризовать его как умеренное. Оно наглядно показывает, как несколько крупных значений в наборе данных могут смещать среднее арифметическое относительно медианы.