Номер 64, страница 39, часть 1 - гдз по алгебре 7-9 класс учебник Высоцкий, Ященко

64 Средний рост учащихся в классе — 165 см. Медиана роста равна 168 см.

а) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 165 см?

б) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 168 см?

в) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик ростом больше 165, но меньше 168 см?

г) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик, рост которого ровно 168 см?

Давайте разберем каждый пункт, основываясь на определениях среднего арифметического и медианы.

Средний рост (среднее арифметическое) — это сумма всех ростов, деленная на количество учеников. Если средний рост равен 165 см, это значит, что если бы все ученики были одного роста, он был бы 165 см.

Медиана роста — это значение, которое делит упорядоченный по возрастанию список ростов пополам. То есть, как минимум половина учеников имеет рост не меньше медианного, и как минимум половина — не больше медианного. В данном случае медиана равна 168 см.

а) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 165 см?

Да, обязательно. По определению медианы, не менее половины учеников имеют рост, равный или больший 168 см. Так как $168 \text{ см} > 165 \text{ см}$, то все эти ученики (составляющие не менее половины класса) точно выше 165 см.

Ответ: Да, обязательно.

б) Обязательно ли не меньше половины учеников выше 168 см?

Нет, не обязательно. По определению, не меньше половины учеников имеют рост, равный или больший 168 см. Это не означает, что они должны быть строго выше 168 см.

Рассмотрим пример. Пусть в классе 3 ученика с ростом 159 см, 168 см, 168 см.
Средний рост: $(159 + 168 + 168) / 3 = 495 / 3 = 165$ см.
Медиана (рост среднего ученика в упорядоченном ряду): 168 см.
Условия задачи выполняются. Однако в этом классе нет ни одного ученика выше 168 см (их 0, что меньше половины).

Ответ: Нет, не обязательно.

в) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик ростом больше 165, но меньше 168 см?

Нет, не обязательно. Мы можем подобрать такой набор ростов, в котором не будет учеников в этом диапазоне.

Рассмотрим пример. Пусть в классе 4 ученика с ростом 150 см, 168 см, 168 см, 174 см.
Средний рост: $(150 + 168 + 168 + 174) / 4 = 660 / 4 = 165$ см.
Медиана (среднее двух центральных значений): $(168 + 168) / 2 = 168$ см.
Условия задачи выполняются, но ни одного ученика с ростом в интервале $(165, 168)$ нет.

Ответ: Нет, не обязательно.

г) Обязательно ли найдётся в этом классе ученик, рост которого ровно 168 см?

Нет, не обязательно. Это было бы обязательно, если бы число учеников в классе было нечетным (тогда медиана равна росту одного из учеников). Но если число учеников четное, медиана является средним арифметическим ростов двух центральных учеников, и их рост может не быть равен 168 см.

Рассмотрим пример. Пусть в классе 4 ученика с ростом 154 см, 167 см, 169 см, 170 см.
Средний рост: $(154 + 167 + 169 + 170) / 4 = 660 / 4 = 165$ см.
Медиана: $(167 + 169) / 2 = 336 / 2 = 168$ см.
Условия задачи выполняются, но в классе нет ученика с ростом ровно 168 см.

Ответ: Нет, не обязательно.