Номер 2, страница 86, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава V. Работа, мощность, энергия. Параграф 25. «Золотое правило» механики. Коэффициент полезного действия механизмов - номер 2, страница 86.

Условие.

2. Диаметр поршня в узком сосуде гидравлического пресса 1 см, а в широком — 5 см.

а) Какой выигрыш в силе можно получить с помощью этого пресса?

б) Насколько поднимается поршень в широком сосуде, когда поршень в узком сосуде опускается на 10 см?

Решение.

Дано:

$d_1 = 1 \text{ см} = 0.01 \text{ м}$
$d_2 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$
$h_1 = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

а) $\frac{F_2}{F_1}$ - ?
б) $h_2$ - ?

Решение:

а) Какой выигрыш в силе можно получить с помощью этого пресса?

В основе работы гидравлического пресса лежит закон Паскаля, согласно которому давление, производимое на жидкость, передается во все точки жидкости одинаково. Это означает, что давление под малым поршнем ($p_1$) равно давлению под большим поршнем ($p_2$):
$p_1 = p_2$

Давление ($\text{p}$) определяется как отношение силы ($\text{F}$) к площади ($\text{S}$), на которую эта сила действует: $p = \frac{F}{S}$. Таким образом, для поршней пресса можно записать:
$\frac{F_1}{S_1} = \frac{F_2}{S_2}$
где $F_1$ и $S_1$ — сила, приложенная к малому поршню, и его площадь, а $F_2$ и $S_2$ — сила, действующая на большой поршень, и его площадь.

Выигрыш в силе представляет собой отношение силы на большом поршне к силе на малом поршне. Из предыдущей формулы выразим это отношение:
$\frac{F_2}{F_1} = \frac{S_2}{S_1}$

Площадь круглого поршня вычисляется по формуле $S = \frac{\pi d^2}{4}$, где $\text{d}$ — диаметр поршня. Подставим это в отношение площадей:
$\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{\pi d_2^2}{4}}{\frac{\pi d_1^2}{4}} = \frac{d_2^2}{d_1^2} = (\frac{d_2}{d_1})^2$

Теперь вычислим выигрыш в силе, подставив числовые значения диаметров:
$\frac{F_2}{F_1} = (\frac{5 \text{ см}}{1 \text{ см}})^2 = 5^2 = 25$

Ответ: С помощью этого пресса можно получить выигрыш в силе в 25 раз.

б) Насколько поднимается поршень в широком сосуде, когда поршень в узком сосуде опускается на 10 см?

Поскольку жидкость в прессе считается несжимаемой, объем жидкости, вытесненный малым поршнем при его опускании ($V_1$), равен объему жидкости, который поднимает большой поршень ($V_2$):
$V_1 = V_2$

Объем цилиндра, описываемый движением поршня, равен произведению площади поршня на высоту его перемещения ($V = S \cdot h$). Следовательно:
$S_1 \cdot h_1 = S_2 \cdot h_2$

Из этого соотношения выразим высоту подъема большого поршня $h_2$:
$h_2 = h_1 \cdot \frac{S_1}{S_2}$

Как мы выяснили в пункте а), отношение площадей $\frac{S_2}{S_1} = 25$. Тогда обратное отношение $\frac{S_1}{S_2} = \frac{1}{25}$.
Подставим известные значения в формулу для $h_2$:
$h_2 = 10 \text{ см} \cdot \frac{1}{25} = \frac{10}{25} \text{ см} = 0.4 \text{ см}$

Ответ: Поршень в широком сосуде поднимается на 0.4 см.