Номер 28, страница 91, часть 2 - гдз по физике 7 класс учебник Генденштейн, Булатова

Часть 2. Глава V. Работа, мощность, энергия. Параграф 25. «Золотое правило» механики. Коэффициент полезного действия механизмов - номер 28, страница 91.

Условие.

28. Груз равномерно поднимают с помощью подвижного блока, КПД которого 75%. Во сколько раз масса груза больше массы блока, если трением в блоке можно пренебречь?

Решение.

Дано:

КПД блока $\eta = 75\%$

Перевод в СИ:
$\eta = 0.75$

Найти:

$\frac{m_г}{m_б}$

Решение:

Коэффициент полезного действия (КПД) определяется как отношение полезной работы ($A_п$) к полной (затраченной) работе ($A_з$).

$\eta = \frac{A_п}{A_з}$

Полезной работой является работа по подъему груза массой $m_г$ на некоторую высоту $\text{h}$.

$A_п = P_г h = m_г g h$, где $P_г$ - вес груза, а $\text{g}$ - ускорение свободного падения.

Затраченная работа совершается силой $\text{F}$, приложенной к свободному концу веревки, на пути $\text{s}$. Подвижный блок дает выигрыш в силе, но проигрыш в расстоянии в 2 раза, поэтому $s = 2h$.

$A_з = F \cdot s = F \cdot 2h$

Поскольку трением можно пренебречь, потери происходят только из-за необходимости поднимать сам блок массой $m_б$. Так как подъем равномерный, приложенная сила $\text{F}$ должна уравновешивать половину общего веса груза и блока, который распределяется на две ветви веревки:

$F = \frac{P_г + P_б}{2} = \frac{m_г g + m_б g}{2} = \frac{(m_г + m_б)g}{2}$

Теперь подставим выражения для $A_п$, $A_з$ и $\text{F}$ в формулу для КПД:

$\eta = \frac{A_п}{A_з} = \frac{m_г g h}{F \cdot 2h} = \frac{m_г g}{2F} = \frac{m_г g}{2 \cdot \frac{(m_г + m_б)g}{2}}$

Упростим выражение:

$\eta = \frac{m_г g}{(m_г + m_б)g} = \frac{m_г}{m_г + m_б}$

Теперь выразим искомое отношение $\frac{m_г}{m_б}$ из полученной формулы:

$\eta (m_г + m_б) = m_г$

$\eta m_г + \eta m_б = m_г$

$\eta m_б = m_г - \eta m_г$

$\eta m_б = m_г (1 - \eta)$

$\frac{m_г}{m_б} = \frac{\eta}{1 - \eta}$

Подставим числовое значение $\eta=0.75$:

$\frac{m_г}{m_б} = \frac{0.75}{1 - 0.75} = \frac{0.75}{0.25} = 3$

Ответ: масса груза больше массы блока в 3 раза.