Номер 40.44, страница 153 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 40. Количество теплоты. Удельная теплоёмкость вещества. Глава 6. Тепловые явления - номер 40.44, страница 153.

40.44 [1029, б] В ванну налили и смешали 50 л воды при температуре 15 $^{\circ}\text{C}$ и 30 л воды при температуре 75 $^{\circ}\text{C}$. Вычислите, какой стала бы температура воды в ванне, если бы некоторая часть внутренней энергии горячей воды не расходовалась на нагревание ванны и окружающей среды.

Дано:

$V_1 = 50$ л = $0.05$ м³
$t_1 = 15$ °C
$V_2 = 30$ л = $0.03$ м³
$t_2 = 75$ °C
$c = 4200$ Дж/(кг·°C) (удельная теплоемкость воды)
$\rho = 1000$ кг/м³ (плотность воды)

Найти:

$t$ - ?

Решение:

Согласно условию задачи, мы пренебрегаем потерями тепла на нагревание ванны и окружающей среды. Это означает, что система является замкнутой (изолированной), и для нее выполняется закон сохранения энергии. Количество теплоты, отданное горячей водой при остывании ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, полученному холодной водой при нагревании ($Q_{пол}$).

Это можно записать в виде уравнения теплового баланса:
$Q_{отд} = Q_{пол}$

Количество теплоты, отданное горячей водой, вычисляется по формуле:
$Q_{отд} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$
где $m_2$ — масса горячей воды, $t$ — конечная температура смеси.

Количество теплоты, полученное холодной водой, вычисляется по формуле:
$Q_{пол} = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$
где $m_1$ — масса холодной воды.

Приравняем эти два выражения:
$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Массу воды можно выразить через ее объем и плотность: $m = \rho \cdot V$. Подставим это в уравнение:
$c \cdot \rho \cdot V_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot \rho \cdot V_1 \cdot (t - t_1)$

Так как вещество одно и то же (вода), мы можем сократить удельную теплоемкость $c$ и плотность $\rho$:
$V_2 \cdot (t_2 - t) = V_1 \cdot (t - t_1)$

Теперь решим это уравнение относительно конечной температуры $t$. Раскроем скобки:
$V_2 t_2 - V_2 t = V_1 t - V_1 t_1$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $t$:
$V_1 t_1 + V_2 t_2 = V_1 t + V_2 t$
$V_1 t_1 + V_2 t_2 = t(V_1 + V_2)$

Выразим $t$:
$t = \frac{V_1 t_1 + V_2 t_2}{V_1 + V_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:
$t = \frac{50 \cdot 15 + 30 \cdot 75}{50 + 30} = \frac{750 + 2250}{80} = \frac{3000}{80} = \frac{300}{8} = 37.5$ °C

Ответ: конечная температура воды в ванне стала бы равна $37.5$ °C.