Страница 153 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

40.40 [1026] Во время эксперимента установили, что при охлаждении куска олова массой 100 г до температуры 32°C выделилось 5 кДж энергии. Определите температуру олова до охлаждения.

Дано:

масса олова, $m$ = 100 г = 0.1 кг

конечная температура, $t_2$ = 32 °C

выделившаяся энергия (количество теплоты), $Q$ = 5 кДж = 5000 Дж

удельная теплоемкость олова (табличное значение), $c$ = 230 Дж/(кг·°C)

Найти:

начальную температуру олова, $t_1$

Решение:

Количество теплоты, которое выделяется при охлаждении тела, определяется по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$

где $c$ — удельная теплоемкость вещества, $m$ — масса тела, а $\Delta t$ — изменение температуры.

Поскольку тело охлаждается, его начальная температура $t_1$ выше конечной температуры $t_2$. Следовательно, изменение температуры равно разности начальной и конечной температур:

$\Delta t = t_1 - t_2$

Подставим это выражение в основную формулу:

$Q = c \cdot m \cdot (t_1 - t_2)$

Из этой формулы необходимо выразить начальную температуру $t_1$. Сначала выразим разность температур:

$t_1 - t_2 = \frac{Q}{c \cdot m}$

Теперь выразим $t_1$:

$t_1 = \frac{Q}{c \cdot m} + t_2$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$t_1 = \frac{5000 \text{ Дж}}{230 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.1 \text{ кг}} + 32 \text{ °C}$

$t_1 = \frac{5000}{23} \text{ °C} + 32 \text{ °C}$

$t_1 \approx 217.39 \text{ °C} + 32 \text{ °C} \approx 249.39 \text{ °C}$

Округлим результат до одного знака после запятой.

$t_1 \approx 249.4 \text{ °C}$

Ответ: температура олова до охлаждения составляла примерно 249.4 °C.

40.41 [1027] До какой температуры остынут 5 л кипятка, взятого при температуре 100$^\circ \text{C}$, отдав в окружающее пространство 1680 кДж энергии?

Дано

$V = 5 \text{ л} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$t_1 = 100°\text{C}$

$Q = 1680 \text{ кДж} = 1.68 \cdot 10^6 \text{ Дж}$

Найти:

$t_2$

Решение

Количество теплоты, которое вода отдает при остывании, рассчитывается по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot (t_1 - t_2)$

где $c$ — удельная теплоемкость воды ($c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot °\text{C}}$), $m$ — масса воды, $t_1$ — начальная температура, $t_2$ — конечная температура.

Массу воды найдем, зная ее объем $V$ и плотность $\rho$ (плотность воды принимаем равной $1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$):

$m = \rho \cdot V$

$m = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 5 \text{ кг}$

Теперь выразим конечную температуру $t_2$ из формулы для количества теплоты:

$t_1 - t_2 = \frac{Q}{c \cdot m}$

$t_2 = t_1 - \frac{Q}{c \cdot m}$

Подставим известные значения в формулу:

$t_2 = 100°\text{C} - \frac{1680 \cdot 10^3 \text{ Дж}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot °\text{C}} \cdot 5 \text{ кг}} = 100°\text{C} - \frac{1680000}{21000}°\text{C}$

$t_2 = 100°\text{C} - 80°\text{C} = 20°\text{C}$

Ответ: $20°\text{C}$.

40.42 [1028] При охлаждении медного паяльника до $20^\circ C$ выделилось $30.4 \text{ кДж}$ энергии. До какой температуры был нагрет паяльник, если его масса $200 \text{ г}$?

Дано:

Количество выделившейся теплоты $Q = 30,4$ кДж

Масса медного паяльника $m = 200$ г

Конечная температура паяльника $t_2 = 20$ °C

Удельная теплоемкость меди (справочное значение) $c = 400 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

$Q = 30,4 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 30400 \text{ Дж}$

$m = 200 \text{ г} = 0,2 \text{ кг}$

Найти:

Начальную температуру паяльника $t_1$.

Решение:

Количество теплоты, которое выделяется при охлаждении тела, определяется по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$

где $c$ - удельная теплоемкость вещества, $m$ - масса тела, а $\Delta t$ - изменение температуры.

Изменение температуры в данном случае равно разности начальной $t_1$ и конечной $t_2$ температур:

$\Delta t = t_1 - t_2$

Подставим это выражение в основную формулу:

$Q = c \cdot m \cdot (t_1 - t_2)$

Для того чтобы найти начальную температуру $t_1$, выразим ее из этой формулы. Сначала найдем разность температур:

$t_1 - t_2 = \frac{Q}{c \cdot m}$

Теперь выразим искомую температуру $t_1$:

$t_1 = \frac{Q}{c \cdot m} + t_2$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$t_1 = \frac{30400 \text{ Дж}}{400 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0,2 \text{ кг}} + 20 \text{ °C}$

Выполним вычисления:

$t_1 = \frac{30400}{80} \text{ °C} + 20 \text{ °C}$

$t_1 = 380 \text{ °C} + 20 \text{ °C} = 400 \text{ °C}$

Ответ: паяльник был нагрет до температуры 400 °C.

40.43 [1029, a] Было установлено, что при работе машины внутренняя энергия одной из алюминиевых деталей массой 2 кг повысилась на столько, на сколько увеличилась внутренняя энергия воды массой 800 г при нагревании её от 0 до 100 °C. По этим данным определите, на сколько градусов повысилась температура детали.

Дано:

Найти:

$\Delta t_{ал}$

Решение:

Согласно условию задачи, повышение внутренней энергии алюминиевой детали равно увеличению внутренней энергии воды. Изменение внутренней энергии при нагревании (без изменения агрегатного состояния) равно количеству теплоты, полученному телом.

Количество теплоты, полученное водой при нагревании, можно рассчитать по формуле:

$Q_{в} = c_{в} \cdot m_{в} \cdot (t_{в2} - t_{в1})$

Это и есть изменение внутренней энергии воды $\Delta U_{в}$.

$\Delta t_{в} = t_{в2} - t_{в1} = 100~°C - 0~°C = 100~°C$

$\Delta U_{в} = 4200~\frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.8~кг \cdot 100~°C = 336000~Дж$

Изменение внутренней энергии алюминиевой детали $\Delta U_{ал}$ рассчитывается аналогично:

$\Delta U_{ал} = c_{ал} \cdot m_{ал} \cdot \Delta t_{ал}$

По условию $\Delta U_{ал} = \Delta U_{в}$. Приравняем выражения:

$c_{ал} \cdot m_{ал} \cdot \Delta t_{ал} = c_{в} \cdot m_{в} \cdot \Delta t_{в}$

Выразим из этого уравнения искомое изменение температуры алюминиевой детали $\Delta t_{ал}$:

$\Delta t_{ал} = \frac{c_{в} \cdot m_{в} \cdot \Delta t_{в}}{c_{ал} \cdot m_{ал}}$

Подставим числовые значения в формулу:

$\Delta t_{ал} = \frac{4200~\frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.8~кг \cdot 100~°C}{920~\frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 2~кг}$

$\Delta t_{ал} = \frac{336000~Дж}{1840~\frac{Дж}{°C}} \approx 182.6~°C$

Ответ: температура детали повысилась примерно на 182.6 °C.

40.44 [1029, б] В ванну налили и смешали 50 л воды при температуре 15 $^{\circ}\text{C}$ и 30 л воды при температуре 75 $^{\circ}\text{C}$. Вычислите, какой стала бы температура воды в ванне, если бы некоторая часть внутренней энергии горячей воды не расходовалась на нагревание ванны и окружающей среды.

Дано:

Найти:

Решение:

Согласно условию задачи, мы пренебрегаем потерями тепла на нагревание ванны и окружающей среды. Это означает, что система является замкнутой (изолированной), и для нее выполняется закон сохранения энергии. Количество теплоты, отданное горячей водой при остывании ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, полученному холодной водой при нагревании ($Q_{пол}$).

Это можно записать в виде уравнения теплового баланса:
$Q_{отд} = Q_{пол}$

Количество теплоты, отданное горячей водой, вычисляется по формуле:
$Q_{отд} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$
где $m_2$ — масса горячей воды, $t$ — конечная температура смеси.

Количество теплоты, полученное холодной водой, вычисляется по формуле:
$Q_{пол} = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$
где $m_1$ — масса холодной воды.

Приравняем эти два выражения:
$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Массу воды можно выразить через ее объем и плотность: $m = \rho \cdot V$. Подставим это в уравнение:
$c \cdot \rho \cdot V_2 \cdot (t_2 - t) = c \cdot \rho \cdot V_1 \cdot (t - t_1)$

Так как вещество одно и то же (вода), мы можем сократить удельную теплоемкость $c$ и плотность $\rho$:
$V_2 \cdot (t_2 - t) = V_1 \cdot (t - t_1)$

Теперь решим это уравнение относительно конечной температуры $t$. Раскроем скобки:
$V_2 t_2 - V_2 t = V_1 t - V_1 t_1$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $t$:
$V_1 t_1 + V_2 t_2 = V_1 t + V_2 t$
$V_1 t_1 + V_2 t_2 = t(V_1 + V_2)$

Выразим $t$:
$t = \frac{V_1 t_1 + V_2 t_2}{V_1 + V_2}$

Подставим числовые значения из условия задачи:
$t = \frac{50 \cdot 15 + 30 \cdot 75}{50 + 30} = \frac{750 + 2250}{80} = \frac{3000}{80} = \frac{300}{8} = 37.5$ °C

Ответ: конечная температура воды в ванне стала бы равна $37.5$ °C.

40.45 [1029, в] Пренебрегая потерями теплоты на нагревание ванны и окружающей среды, вычислите, какой стала бы температура воды в ванне, если бы в неё налили шесть вёдер воды при температуре $10^\circ C$ и пять вёдер воды при температуре $90^\circ C$. (Вместимость ведра примите равной $10$ л.)

Дано:

Количество вёдер холодной воды, $N_1 = 6$

Температура холодной воды, $t_1 = 10 \text{ °C}$

Количество вёдер горячей воды, $N_2 = 5$

Температура горячей воды, $t_2 = 90 \text{ °C}$

Вместимость одного ведра, $V_{ведра} = 10 \text{ л}$

Найти:

Конечная температура воды в ванне, $t_{кон}$

Решение:

Согласно условию задачи, потерями теплоты на нагревание ванны и окружающей среды можно пренебречь. Это означает, что система является изолированной, и для неё выполняется закон сохранения энергии. В данном случае это можно записать как уравнение теплового баланса: количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, полученному холодной водой ($Q_{пол}$).

$Q_{отд} = Q_{пол}$

Количество теплоты, полученное холодной водой при нагревании от температуры $t_1$ до конечной температуры $t_{кон}$, вычисляется по формуле:

$Q_{пол} = c \cdot m_1 \cdot (t_{кон} - t_1)$

Количество теплоты, отданное горячей водой при остывании от температуры $t_2$ до конечной температуры $t_{кон}$, вычисляется по формуле:

$Q_{отд} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t_{кон})$

где $c$ — удельная теплоёмкость воды, $m_1$ и $m_2$ — массы холодной и горячей воды соответственно.

Приравняем правые части уравнений:

$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t_{кон}) = c \cdot m_1 \cdot (t_{кон} - t_1)$

Удельную теплоёмкость воды $c$ можно сократить, так как она одинакова для горячей и холодной воды:

$m_2 \cdot (t_2 - t_{кон}) = m_1 \cdot (t_{кон} - t_1)$

Массу воды можно выразить через её объём $V$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho \cdot V$.

$\rho \cdot V_2 \cdot (t_2 - t_{кон}) = \rho \cdot V_1 \cdot (t_{кон} - t_1)$

Плотность воды $\rho$ также можно сократить (пренебрегая её небольшой зависимостью от температуры):

$V_2 \cdot (t_2 - t_{кон}) = V_1 \cdot (t_{кон} - t_1)$

Вычислим объёмы холодной и горячей воды:

Объём холодной воды: $V_1 = N_1 \cdot V_{ведра} = 6 \cdot 10 \text{ л} = 60 \text{ л}$.

Объём горячей воды: $V_2 = N_2 \cdot V_{ведра} = 5 \cdot 10 \text{ л} = 50 \text{ л}$.

Подставим известные значения в уравнение теплового баланса и решим его относительно $t_{кон}$:

$50 \cdot (90 - t_{кон}) = 60 \cdot (t_{кон} - 10)$

Раскроем скобки:

$4500 - 50 \cdot t_{кон} = 60 \cdot t_{кон} - 600$

Сгруппируем слагаемые с $t_{кон}$ в одной части уравнения, а числовые значения — в другой:

$4500 + 600 = 60 \cdot t_{кон} + 50 \cdot t_{кон}$

$5100 = 110 \cdot t_{кон}$

Выразим конечную температуру:

$t_{кон} = \frac{5100}{110} = \frac{510}{11} \approx 46.3636... \text{ °C}$

Округлим результат до одного знака после запятой.

Ответ: конечная температура воды в ванне составит приблизительно $46.4 \text{ °C}$.

40.46 [1030] На нагревание кирпича массой $4 \text{ кг}$ на $63^\circ \text{C}$ затрачено такое же количество теплоты, как и на нагревание воды той же массы на $13,2^\circ \text{C}$. Определите удельную теплоёмкость кирпича.

Дано:

Масса кирпича: $m_к = 4$ кг
Изменение температуры кирпича: $\Delta t_к = 63$ °C
Масса воды: $m_в = 4$ кг
Изменение температуры воды: $\Delta t_в = 13,2$ °C
Удельная теплоёмкость воды: $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$ (справочное значение)
Количество теплоты, полученное кирпичом и водой, одинаково: $Q_к = Q_в$

Найти:

Удельная теплоёмкость кирпича: $c_к$

Решение:

Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, вычисляется по формуле:
$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$
где $c$ — удельная теплоёмкость вещества, $m$ — масса тела, а $\Delta t$ — изменение его температуры.

Запишем формулу для количества теплоты, затраченного на нагревание кирпича ($Q_к$) и воды ($Q_в$):
$Q_к = c_к \cdot m_к \cdot \Delta t_к$
$Q_в = c_в \cdot m_в \cdot \Delta t_в$

По условию задачи, количество теплоты, затраченное на нагревание кирпича, равно количеству теплоты, затраченному на нагревание воды:
$Q_к = Q_в$

Следовательно, мы можем приравнять правые части уравнений:
$c_к \cdot m_к \cdot \Delta t_к = c_в \cdot m_в \cdot \Delta t_в$

В условии сказано, что массы кирпича и воды равны ($m_к = m_в$), поэтому массу можно сократить в обеих частях уравнения:
$c_к \cdot \Delta t_к = c_в \cdot \Delta t_в$

Выразим из этого уравнения удельную теплоёмкость кирпича $c_к$:
$c_к = \frac{c_в \cdot \Delta t_в}{\Delta t_к}$

Подставим числовые значения и произведём расчёт:
$c_к = \frac{4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 13,2 °C}{63 °C} = \frac{55440}{63} \frac{Дж}{кг \cdot °C} = 880 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Ответ: удельная теплоёмкость кирпича равна $880 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$.

40.47 [1031] Двигатель мощностью 75 Вт в течение 5 мин вращает лопасти винта внутри калориметра, в котором находится вода объёмом 5 л. Вследствие трения о воду лопастей винта вода нагрелась. Считая, что вся энергия пошла на нагревание воды, определите, как изменилась её температура.

Дано:

Мощность двигателя, $P = 75 \text{ Вт}$
Время работы, $t = 5 \text{ мин}$
Объем воды, $V = 5 \text{ л}$
Удельная теплоемкость воды, $c = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$
Плотность воды, $\rho = 1000 \frac{кг}{м^3}$

Перевод в систему СИ:

$t = 5 \text{ мин} = 5 \cdot 60 \text{ с} = 300 \text{ с}$
$V = 5 \text{ л} = 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

Изменение температуры воды, $\Delta T$

Решение:

Согласно условию задачи, вся энергия, выработанная двигателем, идет на нагревание воды. Энергия, или работа $A$, совершенная двигателем за время $t$ при мощности $P$, определяется по формуле:
$A = P \cdot t$

Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания вещества, рассчитывается по формуле:
$Q = c \cdot m \cdot \Delta T$
где $c$ — удельная теплоемкость вещества, $m$ — его масса, а $\Delta T$ — изменение температуры.

Массу воды $m$ можно найти, зная её объем $V$ и плотность $\rho$:
$m = \rho \cdot V$

Так как вся работа двигателя переходит в теплоту, то можно приравнять эти величины:
$A = Q$
$P \cdot t = c \cdot m \cdot \Delta T$

Подставим выражение для массы в это уравнение:
$P \cdot t = c \cdot \rho \cdot V \cdot \Delta T$

Выразим из этой формулы искомое изменение температуры $\Delta T$:
$\Delta T = \frac{P \cdot t}{c \cdot \rho \cdot V}$

Теперь подставим числовые значения в систему СИ:
$\Delta T = \frac{75 \text{ Вт} \cdot 300 \text{ с}}{4200 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}$

Рассчитаем массу воды отдельно для упрощения:
$m = 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 5 \text{ кг}$

Тогда:
$\Delta T = \frac{75 \cdot 300}{4200 \cdot 5} = \frac{22500}{21000} = \frac{225}{210} = \frac{15}{14} \approx 1.07 \text{ °C}$

Ответ: температура воды изменилась (увеличилась) на $1.07 \text{ °C}$.

40.48* [1032*] Стальной боек (ударная часть пневматического молотка) массой 1,2 кг во время работы в течение 1,5 мин нагрелся на 20 °С. Полагая, что на нагревание бойка пошло 40 % всей энергии молотка, определите произведённую работу и мощность, развиваемую при этом.

Дано:

$m = 1,2 \text{ кг}$

$t = 1,5 \text{ мин}$

$\Delta T = 20^\circ\text{C}$

$\eta = 40\%$

$c = 500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}}$ (удельная теплоемкость стали)

Перевод в систему СИ:

$t = 1,5 \cdot 60 = 90 \text{ с}$

$\eta = 40\% = 0,4$

Найти:

$A$ - ?

$P$ - ?

Решение:

Произведённая работа

Сначала определим количество теплоты $Q$, которое пошло на нагревание стального бойка. Это можно сделать, используя формулу количества теплоты:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta T$

где $c$ — удельная теплоемкость стали, $m$ — масса бойка, $\Delta T$ — изменение его температуры.

Подставим числовые значения:

$Q = 500 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot ^\circ\text{C}} \cdot 1,2 \text{ кг} \cdot 20^\circ\text{C} = 12000 \text{ Дж}$

Согласно условию, на нагревание пошло 40% всей энергии (работы $A$) молотка. Следовательно, количество теплоты $Q$ связано с полной работой $A$ соотношением:

$Q = \eta \cdot A$

Выразим из этой формулы полную работу, произведённую молотком:

$A = \frac{Q}{\eta} = \frac{12000 \text{ Дж}}{0,4} = 30000 \text{ Дж} = 30 \text{ кДж}$

Ответ: произведённая работа молотка равна $30 \text{ кДж}$.

Мощность

Мощность $P$ — это физическая величина, равная отношению работы $A$ ко времени $t$, за которое она была совершена:

$P = \frac{A}{t}$

Используя найденное значение работы и время, переведенное в систему СИ ($t=90 \text{ с}$), рассчитаем мощность:

$P = \frac{30000 \text{ Дж}}{90 \text{ с}} \approx 333,33... \text{ Вт}$

Округляя результат, получаем:

$P \approx 333 \text{ Вт}$

Ответ: мощность, развиваемая молотком, составляет примерно $333 \text{ Вт}$.