Страница 152 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

40.30 [1017] В железный душевой бак, масса которого 65 кг, налили холодной колодезной воды объёмом 200 л. В результате нагревания солнечным излучением температура воды повысилась от 4 до 29 °С. Какое количество теплоты получили бак и вода?

Дано:

Масса железного бака, $m_б = 65 \text{ кг}$
Объем холодной воды, $V_в = 200 \text{ л} = 0,2 \text{ м}^3$
Начальная температура, $t_1 = 4 \text{ °C}$
Конечная температура, $t_2 = 29 \text{ °C}$

Справочные величины:
Удельная теплоемкость железа, $c_ж = 460 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Удельная теплоемкость воды, $c_в = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$
Плотность воды, $\rho_в = 1000 \frac{кг}{м^3}$

Найти:

Общее количество теплоты, полученное баком и водой, $Q_{общ}$ - ?

Решение:

Общее количество теплоты $Q_{общ}$, полученное системой, состоящей из бака и воды, равно сумме количества теплоты, полученного баком ($Q_б$), и количества теплоты, полученного водой ($Q_в$).

$Q_{общ} = Q_б + Q_в$

Количество теплоты, необходимое для нагревания вещества, определяется по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

где $c$ — удельная теплоемкость вещества, $m$ — его масса, а $(t_2 - t_1)$ — изменение температуры.

1. Найдем количество теплоты, полученное железным баком ($Q_б$). Изменение температуры для бака и воды одинаково:

$\Delta t = t_2 - t_1 = 29 \text{ °C} - 4 \text{ °C} = 25 \text{ °C}$

Подставим значения в формулу для бака:

$Q_б = c_ж \cdot m_б \cdot \Delta t = 460 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 65 \text{ кг} \cdot 25 \text{ °C} = 747500 \text{ Дж}$

2. Найдем количество теплоты, полученное водой ($Q_в$). Сначала определим массу воды, зная ее объем и плотность:

$m_в = \rho_в \cdot V_в = 1000 \frac{кг}{м^3} \cdot 0,2 \text{ м}^3 = 200 \text{ кг}$

Теперь рассчитаем количество теплоты, полученное водой:

$Q_в = c_в \cdot m_в \cdot \Delta t = 4200 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 200 \text{ кг} \cdot 25 \text{ °C} = 21000000 \text{ Дж}$

3. Сложим полученные значения, чтобы найти общее количество теплоты:

$Q_{общ} = Q_б + Q_в = 747500 \text{ Дж} + 21000000 \text{ Дж} = 21747500 \text{ Дж}$

Результат можно представить в более удобных единицах — мегаджоулях (МДж), учитывая, что $1 \text{ МДж} = 10^6 \text{ Дж}$.

$Q_{общ} = 21747500 \text{ Дж} = 21,7475 \text{ МДж} \approx 22 \text{ МДж}$

Ответ: бак и вода получили $21747500 \text{ Дж}$ (что примерно равно $22 \text{ МДж}$) теплоты.

40.31 [1018] Рассчитайте, какое количество теплоты отдаст кирпичная печь, сложенная из 300 кирпичей, при остывании от 70 до 20 °С. Масса одного кирпича равна 5 кг.

Дано:
Количество кирпичей, $N = 300$
Масса одного кирпича, $m_1 = 5$ кг
Начальная температура, $t_1 = 70$ °C
Конечная температура, $t_2 = 20$ °C
Удельная теплоемкость красного кирпича (табличное значение), $c = 880 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Найти:
Количество теплоты, $Q$

Решение:

Количество теплоты, которое отдает тело при остывании, рассчитывается по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot (t_1 - t_2)$

где $c$ — удельная теплоемкость вещества, $m$ — масса тела, а $(t_1 - t_2)$ — изменение температуры.

Сначала найдем общую массу кирпичной печи. Она равна произведению количества кирпичей на массу одного кирпича:

$m = N \cdot m_1$

$m = 300 \cdot 5 \text{ кг} = 1500 \text{ кг}$

Теперь мы можем подставить все известные значения в формулу для количества теплоты:

$Q = c \cdot m \cdot (t_1 - t_2)$

$Q = 880 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 1500 \text{ кг} \cdot (70 \text{ °C} - 20 \text{ °C})$

$Q = 880 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 1500 \text{ кг} \cdot 50 \text{ °C} = 66 000 000 \text{ Дж}$

Полученное значение удобно выразить в мегаджоулях (МДж), зная, что $1 \text{ МДж} = 10^6 \text{ Дж}$:

$Q = \frac{66 000 000}{1 000 000} \text{ МДж} = 66 \text{ МДж}$

Ответ: $66 \text{ МДж}$.

40.32 [1019] Какое количество теплоты получила вода при нагревании от 15 до 25 °C в бассейне, длина которого 100 м, ширина 6 м и глубина 2 м?

Дано:

Длина бассейна $L = 100$ м
Ширина бассейна $W = 6$ м
Глубина бассейна $H = 2$ м
Начальная температура воды $t_1 = 15$ °C
Конечная температура воды $t_2 = 25$ °C
Удельная теплоемкость воды $c \approx 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (справочное значение)
Плотность воды $\rho \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (справочное значение)

Все исходные данные представлены в единицах СИ, либо в единицах, которые можно использовать в расчетах без перевода, так как изменение температуры в градусах Цельсия равно изменению температуры в Кельвинах ($\Delta t \text{ [°C]} = \Delta T \text{ [K]}$).

Количество теплоты $Q$ — ?

Для нахождения количества теплоты, которое получила вода при нагревании, используется формула: $Q = c \cdot m \cdot \Delta t$, где $c$ — удельная теплоемкость воды, $m$ — масса воды, $\Delta t$ — изменение температуры ($t_2 - t_1$).

Масса воды не дана напрямую, но ее можно вычислить, зная объем бассейна и плотность воды. Масса $m$ равна произведению плотности $\rho$ на объем $V$: $m = \rho \cdot V$.

Объем бассейна, имеющего форму прямоугольного параллелепипеда, вычисляется как произведение его длины $L$, ширины $W$ и глубины $H$: $V = L \cdot W \cdot H$.

Проведем вычисления последовательно.

1. Найдем объем воды в бассейне:
$V = 100 \text{ м} \cdot 6 \text{ м} \cdot 2 \text{ м} = 1200 \text{ м}^3$.

2. Найдем массу этого объема воды:
$m = \rho \cdot V = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 1200 \text{ м}^3 = 1 200 000 \text{ кг} = 1.2 \cdot 10^6 \text{ кг}$.

3. Теперь, зная массу, рассчитаем количество теплоты:
$\Delta t = t_2 - t_1 = 25 \text{°C} - 15 \text{°C} = 10 \text{°C}$.
$Q = c \cdot m \cdot \Delta t = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 1.2 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot 10 \text{°C}$.
Для удобства расчетов представим числа в стандартном виде:
$Q = (4.2 \cdot 10^3) \cdot (1.2 \cdot 10^6) \cdot 10 \text{ Дж} = (4.2 \cdot 1.2) \cdot 10^{3+6+1} \text{ Дж} = 5.04 \cdot 10^{10} \text{ Дж}$.

Полученное значение можно также выразить в гигаджоулях (ГДж), где $1 \text{ ГДж} = 10^9 \text{ Дж}$.
$Q = 50.4 \text{ ГДж}$.

Ответ: количество теплоты, которое получила вода, равно $5.04 \cdot 10^{10}$ Дж.

40.33 [1020] На сколько изменится температура воды в стакане, если ей сообщить количество теплоты, равное $10 \text{ Дж}$? Вместимость стакана примите равной $200 \text{ см}^3$.

Дано:

Количество теплоты, $Q = 10 \text{ Дж}$
Вместимость стакана (объем воды), $V = 200 \text{ см}^3$

Перевод в систему СИ:
$V = 200 \text{ см}^3 = 200 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 200 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

Найти:

Изменение температуры воды, $\Delta T$

Решение:

Для решения задачи воспользуемся справочными данными для воды: удельная теплоемкость $c \approx 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ и плотность $\rho \approx 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$.

Количество теплоты $Q$, сообщенное телу, связано с изменением его температуры $\Delta T$ формулой: $Q = c \cdot m \cdot \Delta T$, где $m$ - масса тела.

Выразим из этой формулы искомое изменение температуры:

$\Delta T = \frac{Q}{c \cdot m}$

Массу воды найдем, зная ее объем $V$ и плотность $\rho$ по формуле:

$m = \rho \cdot V$

Рассчитаем массу воды в стакане:

$m = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3 = 0.2 \text{ кг}$

Теперь подставим все известные значения в формулу для изменения температуры и вычислим результат:

$\Delta T = \frac{10 \text{ Дж}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 0.2 \text{ кг}} = \frac{10}{840} \text{ °C} \approx 0.012 \text{ °C}$

Ответ: температура воды в стакане изменится примерно на $0.012 \text{ °C}$.

40.34 [1021] Вычислите, на сколько градусов нужно повысить температуру куска свинца массой 100 г, чтобы его внутренняя энергия увеличилась на 280 Дж.

Дано:

Масса куска свинца, $m = 100$ г
Увеличение внутренней энергии, $\Delta U = 280$ Дж
Удельная теплоемкость свинца (табличное значение), $c = 140 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$

Перевод в систему СИ:

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

Изменение температуры, $\Delta t$

Решение:

Изменение внутренней энергии тела при его нагревании (когда не происходит изменения агрегатного состояния) равно количеству теплоты, которое было передано телу. Это можно записать в виде формулы: $\Delta U = Q$.

Количество теплоты $Q$, необходимое для изменения температуры тела, определяется по формуле:
$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$
где $c$ — это удельная теплоемкость вещества, $m$ — масса тела, а $\Delta t$ — изменение его температуры.

Объединив эти два выражения, мы получаем связь между изменением внутренней энергии и изменением температуры:
$\Delta U = c \cdot m \cdot \Delta t$

Из этой формулы нам нужно выразить искомое изменение температуры $\Delta t$:
$\Delta t = \frac{\Delta U}{c \cdot m}$

Теперь подставим числовые значения из условия задачи и справочных данных в полученную формулу:
$\Delta t = \frac{280 \text{ Дж}}{140 \frac{Дж}{кг \cdot °C} \cdot 0.1 \text{ кг}}$

Проведем вычисления:
$\Delta t = \frac{280}{14} °C = 20 °C$

Таким образом, для того чтобы внутренняя энергия куска свинца увеличилась на 280 Дж, его температуру необходимо повысить на 20 градусов Цельсия.

Ответ: температуру нужно повысить на 20 °C.

40.35 [1023, a] Мальчик вычислил, что при нагревании воды от 15 °С до кипения (при 100 °С) её внутренняя энергия увеличивается на 178,5 кДж. Чему равна масса нагреваемой воды?

a]

Дано:

Начальная температура воды $t_1 = 15 \text{ °С}$

Конечная температура воды (температура кипения) $t_2 = 100 \text{ °С}$

Увеличение внутренней энергии $\Delta U = 178,5 \text{ кДж}$

Удельная теплоемкость воды $c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}}$

$\Delta U = 178,5 \cdot 10^3 \text{ Дж} = 178500 \text{ Дж}$

Найти:

$m$

Решение:

При нагревании воды без изменения ее агрегатного состояния (то есть без кипения или плавления), изменение ее внутренней энергии $\Delta U$ равно количеству теплоты $Q$, которое было ей передано. Это следует из первого начала термодинамики, пренебрегая работой расширения, что является стандартным допущением для жидкостей в таких задачах.

$\Delta U = Q$

Количество теплоты, необходимое для нагревания вещества, рассчитывается по формуле:

$Q = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

где $c$ — удельная теплоемкость вещества, $m$ — его масса, а $(t_2 - t_1)$ — изменение температуры.

Приравнивая выражения для $\Delta U$ и $Q$, получаем:

$\Delta U = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

Чтобы найти массу воды $m$, выразим ее из этой формулы:

$m = \frac{\Delta U}{c \cdot (t_2 - t_1)}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу и произведем расчеты:

$m = \frac{178500 \text{ Дж}}{4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°С}} \cdot (100 \text{ °С} - 15 \text{ °С})}$

$m = \frac{178500}{4200 \cdot 85} \text{ кг}$

$m = \frac{178500}{357000} \text{ кг}$

$m = 0,5 \text{ кг}$

Ответ: масса нагреваемой воды равна 0,5 кг.

40.36 [1023, б] В бак умывальника, в котором была вода с температурой $20^\circ C$, добавили ещё 3 л воды с температурой $100^\circ C$ и перемешали всю воду. Температура воды в баке стала равна $35^\circ C$. Пренебрегая потерями теплоты на нагревание бака и окружающей среды, определите начальный объём воды в баке.

Дано:

Начальная температура воды в баке: $t_1 = 20°C$
Объем добавленной горячей воды: $V_2 = 3 \text{ л}$
Температура добавленной горячей воды: $t_2 = 100°C$
Конечная (равновесная) температура воды: $\theta = 35°C$

$V_2 = 3 \text{ л} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$V_1$ — начальный объем воды в баке.

Решение:

Согласно условию, теплообмен происходит в замкнутой системе (потерями тепла на нагрев бака и в окружающую среду пренебрегаем). В этом случае выполняется закон сохранения энергии, который можно записать в виде уравнения теплового баланса: количество теплоты, отданное горячей водой при остывании, равно количеству теплоты, полученному холодной водой при нагревании.

Количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_{отд}$):
$Q_{отд} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - \theta)$

Количество теплоты, полученное холодной водой ($Q_{пол}$):
$Q_{пол} = c \cdot m_1 \cdot (\theta - t_1)$

Здесь $c$ — удельная теплоемкость воды, $m_1$ и $m_2$ — массы холодной и горячей воды соответственно.

Приравниваем отданное и полученное тепло:
$Q_{отд} = Q_{пол}$
$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - \theta) = c \cdot m_1 \cdot (\theta - t_1)$

Так как вещество одно и то же (вода), удельная теплоемкость $c$ в обеих частях уравнения сокращается:
$m_2 \cdot (t_2 - \theta) = m_1 \cdot (\theta - t_1)$

Массу воды можно выразить через ее объем $V$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho \cdot V$. Подставим это выражение в уравнение:
$\rho \cdot V_2 \cdot (t_2 - \theta) = \rho \cdot V_1 \cdot (\theta - t_1)$

Плотность воды $\rho$ также можно сократить (пренебрегая ее незначительным изменением при изменении температуры):
$V_2 \cdot (t_2 - \theta) = V_1 \cdot (\theta - t_1)$

Из этого соотношения выразим искомый начальный объем воды $V_1$:
$V_1 = V_2 \cdot \frac{t_2 - \theta}{\theta - t_1}$

Подставим числовые значения из условия задачи. Удобно проводить вычисления, оставив объем в литрах, так как в этом случае результат также будет получен в литрах.
$V_1 = 3 \text{ л} \cdot \frac{100°C - 35°C}{35°C - 20°C} = 3 \text{ л} \cdot \frac{65}{15} = 3 \text{ л} \cdot \frac{13}{3} = 13 \text{ л}$

Ответ: начальный объем воды в баке составлял 13 л.

40.37 [1023, В] Чтобы вымыть инструменты, мальчик налил в таз $3 \text{ л}$ воды, температура которой была равна $10^\circ\text{С}$. Сколько литров кипятка (при $100^\circ\text{С}$) нужно долить в таз, чтобы температура воды в нём стала равной $50^\circ\text{С}$?

Дано

Объем холодной воды, $V_1 = 3$ л
Температура холодной воды, $t_1 = 10$ °C
Температура кипятка (горячей воды), $t_2 = 100$ °C
Конечная температура смеси, $\theta = 50$ °C
Удельная теплоемкость воды, $c$
Плотность воды, $\rho$

$V_1 = 3 \text{ л} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

$V_2$ — ?

Решение

При смешивании холодной и горячей воды происходит теплообмен. Горячая вода отдает тепло, а холодная — поглощает. В соответствии с законом сохранения энергии, количество теплоты, отданное горячей водой, равно количеству теплоты, полученному холодной водой. Пренебрегаем теплообменом с окружающей средой и тазом.

Запишем уравнение теплового баланса:

$Q_{отд} = Q_{пол}$

Количество теплоты, полученное холодной водой, рассчитывается по формуле:

$Q_{пол} = c \cdot m_1 \cdot (\theta - t_1)$

Количество теплоты, отданное горячей водой, рассчитывается по формуле:

$Q_{отд} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - \theta)$

где $m_1$ и $m_2$ — массы холодной и горячей воды соответственно, а $c$ — удельная теплоемкость воды.

Приравниваем выражения для $Q_{отд}$ и $Q_{пол}$:

$c \cdot m_2 \cdot (t_2 - \theta) = c \cdot m_1 \cdot (\theta - t_1)$

Удельную теплоемкость $c$ можно сократить:

$m_2 \cdot (t_2 - \theta) = m_1 \cdot (\theta - t_1)$

Массу воды можно выразить через ее объем $V$ и плотность $\rho$ по формуле $m = \rho \cdot V$. Подставим это в наше уравнение:

$\rho \cdot V_2 \cdot (t_2 - \theta) = \rho \cdot V_1 \cdot (\theta - t_1)$

Плотность воды $\rho$ также можно сократить (считая ее одинаковой для горячей и холодной воды, что является допустимым упрощением в таких задачах):

$V_2 \cdot (t_2 - \theta) = V_1 \cdot (\theta - t_1)$

Выразим из этого уравнения искомый объем кипятка $V_2$:

$V_2 = V_1 \cdot \frac{\theta - t_1}{t_2 - \theta}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$V_2 = 3 \text{ л} \cdot \frac{50 \text{ °C} - 10 \text{ °C}}{100 \text{ °C} - 50 \text{ °C}}$

$V_2 = 3 \text{ л} \cdot \frac{40 \text{ °C}}{50 \text{ °C}}$

$V_2 = 3 \text{ л} \cdot \frac{4}{5} = 3 \cdot 0.8 \text{ л} = 2.4 \text{ л}$

Ответ: нужно долить 2,4 л кипятка.

40.38 [1023, г] Для купания ребёнка в ванну налили 4 ведра (40 л) холодной воды с температурой $6^\circ\text{C}$, а затем долили горячую воду с температурой $96^\circ\text{C}$. Определите массу долитой воды, если температура воды в ванне стала равной $36^\circ\text{C}$. (Расчёт производите без учёта нагревания ванны и окружающей среды.)

Дано:

$V_1 = 40 \text{ л} = 0.04 \text{ м}^3$
$t_1 = 6 \text{ °C}$
$t_2 = 96 \text{ °C}$
$t = 36 \text{ °C}$
$\rho \approx 1000 \text{ кг/м}^3$
$c = 4200 \text{ Дж/(кг·°C)}$

Найти:

$m_2$ — ?

Решение

Задача решается с помощью уравнения теплового баланса. Так как по условию теплообмен с ванной и окружающей средой не учитывается, количество теплоты, отданное горячей водой ($Q_{отд}$), равно количеству теплоты, полученному холодной водой ($Q_{пол}$).

Количество теплоты, полученное холодной водой при нагревании от температуры $t_1$ до конечной температуры $t$, рассчитывается по формуле: $Q_{пол} = c \cdot m_1 \cdot (t - t_1)$

Количество теплоты, отданное горячей водой при остывании от температуры $t_2$ до конечной температуры $t$, рассчитывается по формуле: $Q_{отд} = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

Сначала найдем массу холодной воды $m_1$, зная ее объем $V_1$ и плотность воды $\rho$: $m_1 = \rho \cdot V_1 = 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 0.04 \text{ м}^3 = 40 \text{ кг}$

Составим уравнение теплового баланса: $Q_{пол} = Q_{отд}$ $c \cdot m_1 \cdot (t - t_1) = c \cdot m_2 \cdot (t_2 - t)$

Удельная теплоемкость воды $c$ в левой и правой частях уравнения сокращается: $m_1 \cdot (t - t_1) = m_2 \cdot (t_2 - t)$

Выразим из этого уравнения искомую массу горячей воды $m_2$: $m_2 = \frac{m_1 \cdot (t - t_1)}{t_2 - t}$

Подставим числовые значения в формулу: $m_2 = \frac{40 \text{ кг} \cdot (36 \text{ °C} - 6 \text{ °C})}{96 \text{ °C} - 36 \text{ °C}} = \frac{40 \cdot 30}{60} = \frac{1200}{60} = 20 \text{ кг}$

Ответ: масса долитой горячей воды составляет 20 кг.

40.39 [1025] В эксперименте было установлено, что при изменении температуры куска металла массой 100 г от 20 до 40 °С его внутренняя энергия увеличилась на 280 Дж. Определите удельную теплоёмкость этого металла.

Дано:

$m = 100 \text{ г}$
$t_1 = 20°C$
$t_2 = 40°C$
$\Delta U = 280 \text{ Дж}$

$m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$

Найти:

$c - ?$

Решение:

При нагревании твердого тела, когда оно не совершает работу, изменение его внутренней энергии $\Delta U$ равно количеству теплоты $Q$, переданному этому телу. Это следует из первого начала термодинамики:

$Q = \Delta U$

Количество теплоты, необходимое для изменения температуры тела, определяется формулой:

$Q = c \cdot m \cdot \Delta t$

где $c$ – удельная теплоёмкость вещества, $m$ – масса тела, а $\Delta t$ – изменение его температуры ($\Delta t = t_2 - t_1$).

Приравнивая два выражения, получаем:

$\Delta U = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

Из этой формулы выразим удельную теплоёмкость $c$:

$c = \frac{\Delta U}{m \cdot (t_2 - t_1)}$

Подставим данные из условия задачи в полученную формулу, предварительно переведя массу в систему СИ:

$c = \frac{280 \text{ Дж}}{0.1 \text{ кг} \cdot (40°C - 20°C)} = \frac{280 \text{ Дж}}{0.1 \text{ кг} \cdot 20°C} = \frac{280}{2} \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{ }^\circ\text{C}} = 140 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{ }^\circ\text{C}}$

Поскольку изменение температуры на 1 градус Цельсия равно изменению на 1 Кельвин, то единицу измерения можно также записать как $\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$.

Ответ: удельная теплоёмкость этого металла равна $140 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{ }^\circ\text{C}}$.