Страница 150 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

40.9 [997] Алюминиевую и серебряную ложки одинаковой массы и температуры опустили в кипяток. Равное ли количество теплоты получат они от воды?

Дано:
Масса алюминиевой ложки: $m_{ал}$
Масса серебряной ложки: $m_{сер}$
$m_{ал} = m_{сер} = m$
Начальная температура ложек: $t_{1}$
Конечная температура ложек: $t_{2}$ (температура кипятка)
Изменение температуры: $\Delta t = t_{2} - t_{1}$ (одинаково для обеих ложек)

Найти:
Сравнить количество теплоты, полученное алюминиевой ложкой ($Q_{ал}$), и количество теплоты, полученное серебряной ложкой ($Q_{сер}$).

Решение:
Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, определяется по формуле: $Q = c \cdot m \cdot \Delta t$, где $c$ — удельная теплоемкость вещества, $m$ — масса тела, а $\Delta t$ — изменение его температуры.

Для алюминиевой ложки количество полученной теплоты равно: $Q_{ал} = c_{ал} \cdot m \cdot \Delta t$

Для серебряной ложки количество полученной теплоты равно: $Q_{сер} = c_{сер} \cdot m \cdot \Delta t$

Из условий задачи известно, что масса $m$ и изменение температуры $\Delta t$ для обеих ложек одинаковы. Следовательно, количество полученной теплоты зависит только от удельной теплоемкости материала ($c$), из которого сделана ложка.

Обратимся к справочным таблицам для нахождения значений удельных теплоемкостей алюминия и серебра:
Удельная теплоемкость алюминия $c_{ал} \approx 920 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$.
Удельная теплоемкость серебра $c_{сер} \approx 250 \frac{Дж}{кг \cdot °C}$.

Сравнив эти значения, видим, что удельная теплоемкость алюминия значительно больше удельной теплоемкости серебра: $c_{ал} > c_{сер}$

Поскольку $m$ и $\Delta t$ одинаковы для обеих ложек, а $c_{ал} > c_{сер}$, то для нагревания до той же температуры алюминиевая ложка должна получить большее количество теплоты, чем серебряная. $Q_{ал} > Q_{сер}$

Ответ: Нет, количество теплоты, полученное ложками, не будет равным. Алюминиевая ложка получит большее количество теплоты, так как удельная теплоемкость алюминия больше удельной теплоемкости серебра.

40.10 [998] Стальную деталь и медную заклёпку равной массы нагрели до одинаковой температуры, а затем погрузили в воду. Одинаковое ли количество теплоты получила вода при охлаждении этих тел?

Дано:

Масса стальной детали: $m_с$
Масса медной заклёпки: $m_м$
Условие равенства масс: $m_с = m_м = m$
Начальная температура стальной детали: $t_{1с}$
Начальная температура медной заклёпки: $t_{1м}$
Условие равенства начальных температур: $t_{1с} = t_{1м} = t_1$
Удельная теплоёмкость стали (справочное значение): $c_с \approx 500 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$
Удельная теплоёмкость меди (справочное значение): $c_м \approx 400 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$

Найти:

Сравнить количество теплоты $Q_с$ и $Q_м$, полученное водой от стальной детали и медной заклёпки соответственно.

Решение:

Согласно закону сохранения энергии, количество теплоты, которое получила вода, равно количеству теплоты, которое отдало тело при охлаждении (пренебрегая теплообменом с окружающей средой).

Количество теплоты, отдаваемое телом при охлаждении, вычисляется по формуле: $Q = c \cdot m \cdot (t_1 - t_2)$, где $c$ — удельная теплоёмкость вещества, $m$ — масса тела, $t_1$ — начальная температура тела, $t_2$ — конечная температура тела (температура теплового равновесия).

Запишем формулы для количества теплоты, отданного стальной деталью ($Q_с$) и медной заклёпкой ($Q_м$): $Q_с = c_с \cdot m_с \cdot (t_1 - t_2)$ $Q_м = c_м \cdot m_м \cdot (t_1 - t_2)$

По условию задачи, массы тел равны ($m_с = m_м = m$), и их начальные температуры также одинаковы ($t_{1с} = t_{1м} = t_1$). После погружения в воду оба тела в конечном итоге достигнут одинаковой конечной температуры $t_2$. Следовательно, изменение температуры $(t_1 - t_2)$ будет одинаковым для обоих тел.

Таким образом, количество отданной теплоты будет зависеть только от удельной теплоёмкости материала. Сравним удельные теплоёмкости стали и меди: $c_с \approx 500 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$ $c_м \approx 400 \frac{Дж}{кг \cdot °С}$

Видно, что удельная теплоёмкость стали больше удельной теплоёмкости меди: $c_с > c_м$.

Поскольку массы и изменения температур тел одинаковы, тело с большей удельной теплоёмкостью отдаст большее количество теплоты. Следовательно, $Q_с > Q_м$.

Значит, вода получит большее количество теплоты от стальной детали, чем от медной заклёпки.

Ответ: Нет, вода получит неодинаковое количество теплоты. Так как удельная теплоёмкость стали больше удельной теплоёмкости меди, стальная деталь при охлаждении на одинаковое число градусов отдаст больше теплоты, чем медная заклёпка той же массы.

40.11 [999] Термос вместимостью 3 л заполнили кипятком. Через сутки температура воды в нём понизилась до 77 °С. На сколько изменилась внутренняя энергия воды?

Дано:

$V = 3 \text{ л} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$
$t_1 = 100 \text{ °C}$ (температура кипятка)
$t_2 = 77 \text{ °C}$
$c = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$ (удельная теплоемкость воды)
$\rho = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)

Найти:

$\Delta U$

Решение:

Изменение внутренней энергии воды при ее охлаждении (когда не совершается работа и не меняется агрегатное состояние) равно количеству теплоты, которое вода отдает в окружающую среду.

Изменение внутренней энергии $\Delta U$ вычисляется по формуле:
$\Delta U = Q = c \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$

где $c$ - удельная теплоемкость воды, $m$ - масса воды, $t_1$ и $t_2$ - начальная и конечная температуры воды соответственно.

Сначала найдем массу воды, зная ее объем $V$ и плотность $\rho$:
$m = \rho \cdot V$
$m = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 3 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 3 \text{ кг}$

Теперь можем рассчитать изменение внутренней энергии, подставив все известные значения в формулу:
$\Delta U = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot 3 \text{ кг} \cdot (77 \text{ °C} - 100 \text{ °C})$
$\Delta U = 12600 \frac{\text{Дж}}{\text{°C}} \cdot (-23 \text{ °C})$
$\Delta U = -289800 \text{ Дж}$

Знак "минус" указывает на то, что внутренняя энергия воды уменьшилась. Результат можно выразить в килоджоулях (кДж), разделив на 1000:
$\Delta U = -289.8 \text{ кДж}$

Ответ: внутренняя энергия воды уменьшилась на $289.8 \text{ кДж}$.

40.12 [1000] В алюминиевом чайнике нагревали воду и, пренебрегая потерями теплоты в окружающее пространство, построили графики зависимости количества теплоты ($Q$), полученной чайником и водой, от времени нагревания (рис. VI-12). Какой график построен для воды, а какой — для чайника?

Рис. VI-12

Решение

Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания тела, определяется по формуле: $Q = c \cdot m \cdot \Delta T$, где $c$ — удельная теплоемкость вещества, $m$ — масса тела, а $\Delta T$ — изменение его температуры.

В задаче вода и алюминиевый чайник нагреваются вместе, следовательно, в любой момент времени их температуры одинаковы, и изменение температуры $\Delta T$ для них также одинаково.

Таким образом, количество теплоты, полученное каждым телом, прямо пропорционально его теплоемкости, то есть произведению массы на удельную теплоемкость $m \cdot c$. Сравним теплоемкости воды и алюминиевого чайника.

Удельная теплоемкость воды $c_{воды} \approx 4200 \, \text{Дж/(кг·°C)}$.

Удельная теплоемкость алюминия $c_{алюминия} \approx 920 \, \text{Дж/(кг·°C)}$.

Видно, что удельная теплоемкость воды значительно больше, чем у алюминия ($c_{воды} > c_{алюминия}$). Кроме того, в бытовых условиях масса воды, наливаемой в чайник ($m_{воды}$), как правило, больше или сопоставима с массой самого чайника ($m_{алюминия}$).

Поэтому произведение $m_{воды} \cdot c_{воды}$ будет значительно больше, чем произведение $m_{алюминия} \cdot c_{алюминия}$: $m_{воды} \cdot c_{воды} > m_{алюминия} \cdot c_{алюминия}$.

Это означает, что для одинакового изменения температуры вода должна получить большее количество теплоты, чем чайник: $Q_{воды} > Q_{алюминия}$.

На представленном графике зависимости полученного количества теплоты $Q$ от времени $t$ видно, что линия 2 расположена выше линии 1. Это означает, что для любого момента времени $t$ количество теплоты, соответствующее графику 2, больше, чем количество теплоты, соответствующее графику 1.

Следовательно, график 2 соответствует нагреванию воды, а график 1 — нагреванию чайника.

Ответ: график 1 построен для чайника, а график 2 — для воды.

40.13 [1001] На одинаковых горелках нагревались вода, медь и железо равной массы. Укажите, какой график (рис. VI-13) построен для воды, какой — для меди и какой — для железа. (При построении графиков потери теплоты в окружающее пространство не учитывались.)

Температура $t$, °С

Время $t$

Рис. VI-13

Дано:

вещества: вода, медь, железо
масса веществ одинакова: $m_в = m_м = m_ж = m$
мощность горелок одинакова: $P_в = P_м = P_ж = P$
графики зависимости температуры от времени нагрева (рис. VI-13)

Найти:

Какой график построен для воды, какой — для меди и какой — для железа?

Решение:

Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания тела массой $m$ на температуру $\Delta T$, определяется формулой: $Q = c \cdot m \cdot \Delta T$, где $c$ – удельная теплоемкость вещества.

Поскольку вещества нагреваются на одинаковых горелках, они получают одинаковое количество теплоты за равные промежутки времени. Мощность горелки $P$ — это скорость передачи теплоты, то есть $P = \frac{Q}{t}$, откуда количество теплоты, полученное за время $t$, равно $Q = P \cdot t$.

Приравняем два выражения для количества теплоты: $c \cdot m \cdot \Delta T = P \cdot t$

Выразим из этой формулы изменение температуры $\Delta T$: $\Delta T = \frac{P}{c \cdot m} \cdot t$

Из графика видно, что зависимость температуры от времени линейная, что соответствует полученной формуле. Угол наклона графика к оси времени (скорость нагрева) определяется коэффициентом $\frac{P}{c \cdot m}$. Так как по условию задачи мощность $P$ и масса $m$ для всех трех веществ одинаковы, скорость нагрева обратно пропорциональна удельной теплоемкости вещества: чем больше удельная теплоемкость $c$, тем медленнее нагревается тело и тем меньше угол наклона графика.

Найдем значения удельных теплоемкостей для данных веществ в справочнике:

• Удельная теплоемкость воды: $c_{воды} = 4200 \, \frac{Дж}{кг \cdot °С}$
• Удельная теплоемкость железа: $c_{железа} = 450 \, \frac{Дж}{кг \cdot °С}$
• Удельная теплоемкость меди: $c_{меди} = 380 \, \frac{Дж}{кг \cdot °С}$

Сравним их значения: $c_{меди} < c_{железа} < c_{воды}$

Следовательно, медь будет нагреваться быстрее всех, а вода — медленнее всех.

Сопоставим это с графиками на рисунке:

• График 1 имеет наименьший угол наклона, что соответствует самой медленной скорости нагрева и, следовательно, наибольшей удельной теплоемкости. Этот график построен для воды.
• График 3 имеет наибольший угол наклона, что соответствует самой быстрой скорости нагрева и, следовательно, наименьшей удельной теплоемкости. Этот график построен для меди.
• График 2 имеет промежуточный угол наклона, что соответствует железу.

Ответ: график 1 построен для воды, график 2 — для железа, график 3 — для меди.

40.14 [н] Два тела A и B одинаковой массы, удельные теплоёмкости которых $c_A > c_B$, нагрели в одинаковых условиях до одинаковой температуры. Какое из тел нагрелось быстрее? Какому телу было передано большее количество теплоты? Какое из тел будет медленнее остывать?

Дано:

$m_A = m_B = m$ — массы тел А и В равны
$c_A > c_B$ — удельная теплоёмкость тела А больше удельной теплоёмкости тела В
$P_A = P_B = P$ — мощность нагревателей одинакова (из условия "в одинаковых условиях")
$\Delta t_A = \Delta t_B = \Delta t$ — тела нагрели до одинаковой температуры, следовательно, изменение температуры одинаково

Найти:

1. Какое из тел нагрелось быстрее?
2. Какому телу было передано большее количество теплоты?
3. Какое из тел будет медленнее остывать?

Решение:

Какое из тел нагрелось быстрее?

Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания тела на $\Delta t$, определяется формулой: $Q = c \cdot m \cdot \Delta t$.
Мощность нагревателя $P$ — это количество теплоты, передаваемое телу за время $\tau$: $P = \frac{Q}{\tau}$.
Отсюда время нагревания можно выразить как $\tau = \frac{Q}{P} = \frac{c \cdot m \cdot \Delta t}{P}$.
Поскольку массы тел $m$, изменение температуры $\Delta t$ и мощность нагревателя $P$ одинаковы для обоих тел, время нагревания $\tau$ прямо пропорционально удельной теплоёмкости $c$.
Сравним время нагревания для тел А и В:
$\tau_A = \frac{c_A \cdot m \cdot \Delta t}{P}$ и $\tau_B = \frac{c_B \cdot m \cdot \Delta t}{P}$.
Так как по условию $c_A > c_B$, то и $\tau_A > \tau_B$.
Это означает, что телу В потребовалось меньше времени для нагрева до той же температуры. Следовательно, тело В нагрелось быстрее.

Ответ: Тело В нагрелось быстрее.

Какому телу было передано большее количество теплоты?

Для ответа на этот вопрос используем формулу для количества теплоты: $Q = c \cdot m \cdot \Delta t$.
Сравним количество теплоты, которое получили тела А и В:
$Q_A = c_A \cdot m \cdot \Delta t$
$Q_B = c_B \cdot m \cdot \Delta t$
Так как массы $m$ и изменения температуры $\Delta t$ одинаковы, а удельная теплоёмкость $c_A > c_B$, то и количество полученной теплоты $Q_A > Q_B$.
Следовательно, телу А было передано большее количество теплоты.

Ответ: Большее количество теплоты было передано телу А.

Какое из тел будет медленнее остывать?

Остывание — это процесс отдачи телом накопленной теплоты в окружающую среду. Будем считать, что условия остывания для обоих тел одинаковы (одинаковая температура окружающей среды, форма, площадь поверхности и т.д.). Это означает, что при одинаковой температуре оба тела будут терять тепло с одинаковой скоростью (мощностью) $P_{ост}$.
Скорость остывания характеризуется изменением температуры тела за единицу времени $|\frac{\Delta t}{\tau}|$.
За время $\tau$ тело отдает количество теплоты $Q = P_{ост} \cdot \tau$. С другой стороны, это количество теплоты связано с изменением температуры как $Q = c \cdot m \cdot |\Delta t|$.
Приравняв эти два выражения, получим: $P_{ост} \cdot \tau = c \cdot m \cdot |\Delta t|$.
Отсюда выразим скорость остывания: $|\frac{\Delta t}{\tau}| = \frac{P_{ост}}{c \cdot m}$.
Из этой формулы видно, что скорость остывания обратно пропорциональна удельной теплоёмкости $c$.
Поскольку $c_A > c_B$, то $|\frac{\Delta t}{\tau}|_A < |\frac{\Delta t}{\tau}|_B$.
Это значит, что абсолютное значение изменения температуры в единицу времени у тела А меньше, чем у тела В. Следовательно, тело А будет остывать медленнее. Тело с большей удельной теплоёмкостью, накопив большее количество энергии, будет дольше ее отдавать.

Ответ: Медленнее будет остывать тело А.

40.15 [1002] При уменьшении на $1 \text{ °С}$ температуры нафталина, никеля и фарфора массой $1 \text{ кг}$ выделяется соответственно $1300$, $460$ и $750 \text{ Дж}$ энергии. Чему равны удельные теплоёмкости этих веществ?

Дано:

Изменение температуры, $ \Delta t = 1 \, \text{°C} $
Масса каждого вещества, $ m = 1 \, \text{кг} $
Энергия, выделившаяся при охлаждении нафталина, $ Q_н = 1300 \, \text{Дж} $
Энергия, выделившаяся при охлаждении никеля, $ Q_{ни} = 460 \, \text{Дж} $
Энергия, выделившаяся при охлаждении фарфора, $ Q_ф = 750 \, \text{Дж} $

Все данные представлены в единицах, подходящих для расчетов (система СИ). Изменение температуры в градусах Цельсия ($ \text{°C} $) численно равно изменению в Кельвинах ($ \text{K} $), поэтому перевод не требуется.

Найти:

Удельную теплоёмкость нафталина, $ c_н $ — ?
Удельную теплоёмкость никеля, $ c_{ни} $ — ?
Удельную теплоёмкость фарфора, $ c_ф $ — ?

Решение:

Количество теплоты $Q$, которое выделяется при охлаждении тела, вычисляется по формуле:

$ Q = c \cdot m \cdot \Delta t $

где $c$ — удельная теплоёмкость вещества, $m$ — масса тела, а $\Delta t$ — изменение его температуры.

Чтобы найти удельную теплоёмкость $c$, выразим её из этой формулы:

$ c = \frac{Q}{m \cdot \Delta t} $

Теперь мы можем рассчитать удельную теплоёмкость для каждого из трёх веществ, подставив в формулу соответствующие значения.

Нафталин

Подставим в формулу числовые значения для нафталина:

$ c_н = \frac{Q_н}{m \cdot \Delta t} = \frac{1300 \, \text{Дж}}{1 \, \text{кг} \cdot 1 \, \text{°C}} = 1300 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} $

Ответ: удельная теплоёмкость нафталина равна $1300 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$.

Никель

Подставим в формулу числовые значения для никеля:

$ c_{ни} = \frac{Q_{ни}}{m \cdot \Delta t} = \frac{460 \, \text{Дж}}{1 \, \text{кг} \cdot 1 \, \text{°C}} = 460 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} $

Ответ: удельная теплоёмкость никеля равна $460 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$.

Фарфор

Подставим в формулу числовые значения для фарфора:

$ c_ф = \frac{Q_ф}{m \cdot \Delta t} = \frac{750 \, \text{Дж}}{1 \, \text{кг} \cdot 1 \, \text{°C}} = 750 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} $

Ответ: удельная теплоёмкость фарфора равна $750 \, \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$.

40.16 [1003] Для нагревания на $1 \text{ °С}$ молока и тел из золота, латуни, никеля, глицерина, массами по $2 \text{ кг}$ каждое, расходуется соответственно $7812 \text{ Дж}$, $260 \text{ Дж}$, $760 \text{ Дж}$ и $4800 \text{ Дж}$ энергии. Чему равны удельные теплоёмкости этих веществ?

Дано:

Изменение температуры, $ \Delta t = 1 \text{ °C} $

Масса каждого вещества, $ m = 2 \text{ кг} $

Количество теплоты, затраченное на нагревание каждого вещества соответственно:

$ Q_{\text{молоко}} = 7812 \text{ Дж} $

$ Q_{\text{золото}} = 260 \text{ Дж} $

$ Q_{\text{латунь}} = 760 \text{ Дж} $

$ Q_{\text{глицерин}} = 4800 \text{ Дж} $

(В условии задачи, по-видимому, имеется несоответствие: перечислено 5 веществ, но даны 4 значения энергии. Расчет произведен для веществ, которым можно однозначно сопоставить значения энергии на основе справочных данных об удельной теплоемкости. Вещество "никель" исключено из расчета).

Найти:

Удельные теплоемкости веществ: $ c_{\text{молоко}} $, $ c_{\text{золото}} $, $ c_{\text{латунь}} $, $ c_{\text{глицерин}} $.

Решение:

Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания тела, вычисляется по формуле:

$ Q = c \cdot m \cdot \Delta t $

где $c$ — удельная теплоемкость вещества, $m$ — масса тела, а $ \Delta t $ — изменение его температуры.

Чтобы найти удельную теплоемкость, выразим ее из данной формулы:

$ c = \frac{Q}{m \cdot \Delta t} $

Теперь рассчитаем удельную теплоемкость для каждого вещества, подставив известные значения.

Молоко

Расчет удельной теплоемкости молока:

$ c_{\text{молоко}} = \frac{Q_{\text{молоко}}}{m \cdot \Delta t} = \frac{7812 \text{ Дж}}{2 \text{ кг} \cdot 1 \text{ °C}} = 3906 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} $

Ответ: удельная теплоемкость молока равна $ 3906 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} $.

Золото

Расчет удельной теплоемкости золота:

$ c_{\text{золото}} = \frac{Q_{\text{золото}}}{m \cdot \Delta t} = \frac{260 \text{ Дж}}{2 \text{ кг} \cdot 1 \text{ °C}} = 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} $

Ответ: удельная теплоемкость золота равна $ 130 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} $.

Латунь

Расчет удельной теплоемкости латуни:

$ c_{\text{латунь}} = \frac{Q_{\text{латунь}}}{m \cdot \Delta t} = \frac{760 \text{ Дж}}{2 \text{ кг} \cdot 1 \text{ °C}} = 380 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} $

Ответ: удельная теплоемкость латуни равна $ 380 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} $.

Глицерин

Расчет удельной теплоемкости глицерина:

$ c_{\text{глицерин}} = \frac{Q_{\text{глицерин}}}{m \cdot \Delta t} = \frac{4800 \text{ Дж}}{2 \text{ кг} \cdot 1 \text{ °C}} = 2400 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} $

Ответ: удельная теплоемкость глицерина равна $ 2400 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} $.