Страница 7 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

2.16 [27] Измерив диаметр круга, изображённого на рисунке I-8, вычислите его площадь. Определите площадь круга, подсчитав в нём квадратики площадью 1 мм$^\text{2}$. Сравните численные результаты, полученные разными способами.

Рис. I-8

Для решения задачи выполним последовательно три действия: вычислим площадь круга по формуле, используя его диаметр; определим площадь, подсчитав количество квадратиков; сравним полученные результаты.

Дано:

Круг, вписанный в сетку.
Площадь одного квадратика сетки: $S_{кв} = 1 \text{ мм}^2$

Перевод в систему СИ не требуется, так как все вычисления и сравнения проводятся в миллиметрах. Сторона одного квадратика сетки равна $a = \sqrt{1 \text{ мм}^2} = 1 \text{ мм}$.

Найти:

1. Площадь круга $S_1$, вычисленную через диаметр.
2. Площадь круга $S_2$, определенную подсчетом квадратиков.
3. Сравнить $S_1$ и $S_2$.

Решение:

1. Вычисление площади круга через его диаметр

Измерим диаметр круга, подсчитав количество квадратиков, укладывающихся вдоль него. По рисунку видно, что диаметр круга равен 20 сторонам квадратиков.
$d = 20 \cdot a = 20 \cdot 1 \text{ мм} = 20 \text{ мм}$
Радиус круга равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{20 \text{ мм}}{2} = 10 \text{ мм}$
Площадь круга вычисляется по формуле:
$S_1 = \pi r^2$
Подставим значение радиуса и используем значение $\pi \approx 3,14$:
$S_1 = 3,14 \cdot (10 \text{ мм})^2 = 3,14 \cdot 100 \text{ мм}^2 = 314 \text{ мм}^2$
Для большей точности используем $\pi \approx 3,1416$:
$S_1 = 3,1416 \cdot 100 \text{ мм}^2 = 314,16 \text{ мм}^2$

Ответ: Площадь круга, вычисленная через диаметр, составляет $S_1 \approx 314 \text{ мм}^2$.

2. Определение площади круга путем подсчета квадратиков

Для определения площади этим способом нужно подсчитать количество квадратиков, находящихся внутри круга. Существуют разные методы подсчета, один из наиболее точных — подсчет количества квадратиков, центры которых лежат внутри круга. Площадь круга будет приблизительно равна этому количеству, умноженному на площадь одного квадратика.
$S_2 = N \cdot S_{кв}$, где $N$ — число квадратиков, чьи центры находятся внутри круга.
Проведем подсчет таких квадратиков, используя симметрию круга. Посчитаем их количество в одной четверти (квадранте) и умножим на 4.

• В столбцах с x-координатами центра 0.5, 1.5, 2.5 (3 столбца) находится по 10 квадратиков. Итого: $3 \cdot 10 = 30$.
• В столбцах с x-координатами центра 3.5, 4.5 (2 столбца) находится по 9 квадратиков. Итого: $2 \cdot 9 = 18$.
• В столбцах с x-координатами центра 5.5, 6.5 (2 столбца) находится по 8 квадратиков. Итого: $2 \cdot 8 = 16$.
• В столбце с x-координатой центра 7.5 находится 7 квадратиков. Итого: $1 \cdot 7 = 7$.
• В столбце с x-координатой центра 8.5 находится 5 квадратиков. Итого: $1 \cdot 5 = 5$.
• В столбце с x-координатой центра 9.5 находится 3 квадратика. Итого: $1 \cdot 3 = 3$.

Общее число квадратиков в первом квадранте (включая оси): $30 + 18 + 16 + 7 + 5 + 3 = 79$.
Общее число квадратиков во всем круге: $N = 79 \cdot 4 = 316$.
Таким образом, площадь, найденная подсчетом, равна:
$S_2 = 316 \cdot 1 \text{ мм}^2 = 316 \text{ мм}^2$.
Примечание: другой распространенный метод, $S \approx (N_{полных} + N_{граничных}/2)$, также дает близкий результат. Например, при подсчете $N_{полных} \approx 292$ и $N_{граничных} \approx 52$ получается $S \approx 292 + 52/2 = 318 \text{ мм}^2$. Результат зависит от способа подсчета, но должен быть близок к вычисленному по формуле.

Ответ: Площадь круга, определенная подсчетом квадратиков, составляет $S_2 \approx 316 \text{ мм}^2$.

3. Сравнение численных результатов, полученных разными способами

Сравним результаты, полученные двумя способами:
$S_1 \approx 314 \text{ мм}^2$ (расчет по формуле).
$S_2 \approx 316 \text{ мм}^2$ (подсчет квадратиков).
Абсолютная разница между результатами составляет:
$\Delta S = |S_2 - S_1| = |316 - 314| = 2 \text{ мм}^2$.
Относительная погрешность метода подсчета по сравнению с точным значением ($S_{точн} \approx 314,16 \text{ мм}^2$) составляет:
$\epsilon = \frac{|S_2 - S_{точн}|}{S_{точн}} \cdot 100\% = \frac{|316 - 314,16|}{314,16} \cdot 100\% \approx \frac{1,84}{314,16} \cdot 100\% \approx 0,59\%$.
Разница между результатами очень мала. Это показывает, что метод подсчета квадратиков (палетка) является хорошим способом для оценки площади фигур сложной формы.

Ответ: Результаты, полученные двумя способами ($314 \text{ мм}^2$ и $316 \text{ мм}^2$), очень близки друг к другу. Расхождение составляет около $0,6\%$, что свидетельствует о высокой точности метода оценки площади путем подсчета квадратиков для данного случая.

2.17 [28] Определите объём прямоугольного бруска, длина которого 1,2 м, ширина 8 см и толщина 5 см.

2.17 [28]

Дано:

Найти:

Объём бруска, $V$

Решение:

Прямоугольный брусок представляет собой геометрическое тело, называемое прямоугольным параллелепипедом. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: длины, ширины и толщины (высоты).

Формула для вычисления объёма:

$V = l \cdot w \cdot h$

Для корректного расчёта необходимо, чтобы все величины были выражены в одних и тех же единицах измерения. Приведём все размеры к стандартным единицам системы СИ — метрам. Длина уже дана в метрах. Ширину и толщину, данные в сантиметрах, переведём в метры, используя соотношение $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$.

Ширина: $w = 8 \text{ см} = \frac{8}{100} \text{ м} = 0,08 \text{ м}$

Толщина: $h = 5 \text{ см} = \frac{5}{100} \text{ м} = 0,05 \text{ м}$

Теперь, когда все размеры выражены в метрах, подставим их значения в формулу для объёма:

$V = 1,2 \text{ м} \cdot 0,08 \text{ м} \cdot 0,05 \text{ м}$

Выполним умножение:

$V = 0,096 \text{ м}^2 \cdot 0,05 \text{ м} = 0,0048 \text{ м}^3$

Таким образом, объём прямоугольного бруска равен $0,0048$ кубических метров.

Ответ: $V = 0,0048 \text{ м}^3$.

2.18 [29] Измерив длину, ширину и высоту своей комнаты, определите её объём.

Эта задача является практической и предполагает, что вы самостоятельно измерите длину, ширину и высоту своей комнаты, например, с помощью рулетки. После этого вы сможете рассчитать ее объем, подставив свои значения в приведенное ниже решение. В качестве примера, произведем расчет для комнаты с условными, типичными размерами.

Дано:

Длина комнаты: $a = 5$ м

Ширина комнаты: $b = 3.5$ м

Высота комнаты: $h = 2.7$ м

(Все данные представлены в системе СИ)

Найти:

Объем комнаты $V$

Решение:

Комната, как правило, имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объем $V$ прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты по формуле:

$V = a \cdot b \cdot h$

Подставим числовые значения из раздела "Дано" в эту формулу:

$V = 5 \, \text{м} \cdot 3.5 \, \text{м} \cdot 2.7 \, \text{м}$

Вычислим произведение:

$V = 17.5 \, \text{м}^2 \cdot 2.7 \, \text{м} = 47.25 \, \text{м}^3$

Ответ: объем комнаты составляет $47.25 \, \text{м}^3$.

2.19 [30] Высота гранитной колонны равна 4 м, основание колонны — прямоугольник со сторонами 50 и 60 см. Определите объём колонны.

Дано:

Высота колонны, $h = 4$ м
Сторона основания, $a = 50$ см
Сторона основания, $b = 60$ см

Переведем все данные в систему СИ:
$a = 50 \text{ см} = 0.5 \text{ м}$
$b = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

Найти:

Объём колонны, $V$.

Решение:

Колонна имеет форму прямого параллелепипеда, так как ее основание — прямоугольник, а высота перпендикулярна основанию.

Объём прямого параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.

Формула для объёма:

$V = S \cdot h$

где $S$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Площадь прямоугольного основания вычисляется как произведение его сторон:

$S = a \cdot b$

Таким образом, итоговая формула для объёма колонны:

$V = a \cdot b \cdot h$

Подставим числовые значения в метрах:

$V = 0.5 \text{ м} \cdot 0.6 \text{ м} \cdot 4 \text{ м} = 1.2 \text{ м}^3$

Ответ: объём колонны равен $1.2 \text{ м}^3$.

2.20 [31] На рисунке I-9 показаны 3 разные мензурки, в которые налита одна и та же жидкость. Чему равен объём жидкости в каждой из мензурок?

Для точного ответа на данный вопрос необходимо иметь изображение I-9, на котором показаны мензурки. Поскольку изображение отсутствует, будет представлен общий метод определения объема жидкости в мензурке с гипотетическими примерами для каждой из трех мензурок.

Решение

Общий алгоритм определения объема жидкости в мензурке:

1. Определить цену деления (ЦД) шкалы. Для этого необходимо:
   • Выбрать две ближайшие друг к другу отметки с числовыми значениями (например, $V_1$ и $V_2$).
   • Посчитать количество маленьких делений (промежутков) $n$ между этими отметками.
   • Рассчитать цену деления по формуле: $ЦД = \frac{V_2 - V_1}{n}$.
2. Определить показание прибора. Уровень жидкости определяется по нижнему краю мениска (для воды и большинства водных растворов).
3. Рассчитать объем. Найти ближайшую к уровню жидкости нижнюю оцифрованную отметку и прибавить к ней произведение числа делений от этой отметки до уровня жидкости на цену деления.

Применим этот алгоритм для трех гипотетических мензурок.

Мензурка 1

Предположим, шкала проградуирована в миллилитрах (мл). Ближайшие оцифрованные отметки — 40 мл и 60 мл, между ними 10 делений.

Цена деления: $ЦД = \frac{60 \text{ мл} - 40 \text{ мл}}{10} = \frac{20 \text{ мл}}{10} = 2 \text{ мл}$.

Допустим, уровень жидкости находится на 3 деления выше отметки 60 мл. Тогда объем жидкости $V_1$ равен:

$V_1 = 60 \text{ мл} + 3 \times 2 \text{ мл} = 60 \text{ мл} + 6 \text{ мл} = 66 \text{ мл}$.

Ответ: В данном гипотетическом примере объем жидкости в первой мензурке равен 66 мл.

Мензурка 2

Предположим, шкала проградуирована в кубических сантиметрах ($см^3$), что эквивалентно миллилитрам. Ближайшие оцифрованные отметки — 50 $см^3$ и 100 $см^3$, между ними 5 делений.

Цена деления: $ЦД = \frac{100 \text{ см}^3 - 50 \text{ см}^3}{5} = \frac{50 \text{ см}^3}{5} = 10 \text{ см}^3$.

Допустим, уровень жидкости находится на 2 деления выше отметки 50 $см^3$. Тогда объем жидкости $V_2$ равен:

$V_2 = 50 \text{ см}^3 + 2 \times 10 \text{ см}^3 = 50 \text{ см}^3 + 20 \text{ см}^3 = 70 \text{ см}^3$.

Ответ: В данном гипотетическом примере объем жидкости во второй мензурке равен 70 $см^3$.

Мензурка 3

Предположим, шкала проградуирована в миллилитрах (мл). Ближайшие оцифрованные отметки — 100 мл и 150 мл, между ними 10 делений.

Цена деления: $ЦД = \frac{150 \text{ мл} - 100 \text{ мл}}{10} = \frac{50 \text{ мл}}{10} = 5 \text{ мл}$.

Допустим, уровень жидкости находится точно на отметке, соответствующей 130 мл (это 6 делений выше отметки 100 мл). Тогда объем жидкости $V_3$ равен:

$V_3 = 100 \text{ мл} + 6 \times 5 \text{ мл} = 100 \text{ мл} + 30 \text{ мл} = 130 \text{ мл}$.

Ответ: В данном гипотетическом примере объем жидкости в третьей мензурке равен 130 мл.

2.21 [32] В чём состоят сходство и различия шкал мензурок, изображённых на рисунке I-10?

Рис. I-9

Анализ шкал мензурок, изображенных на рисунке I-10, показывает наличие как сходств, так и различий.

1. Единицы измерения. Шкалы обеих мензурок проградуированы в одних и тех же единицах объёма — кубических сантиметрах ($см^3$).
2. Предел измерения. Максимальный объём, который можно измерить с помощью любого из этих приборов, одинаков и составляет 100 $см^3$.
3. Цена деления. Цена деления у обеих шкал одинакова. Определим её, выбрав два соседних оцифрованных штриха, например, 10 и 20. Разность объёмов между ними равна $20 \ см^3 - 10 \ см^3 = 10 \ см^3$. Число делений (промежутков) между этими штрихами равно 10. Следовательно, цена деления $Ц$ для обеих мензурок составляет:
$Ц = \frac{20 \ см^3 - 10 \ см^3}{10} = 1 \ см^3$.

Ответ: Сходство шкал заключается в одинаковых единицах измерения ($см^3$), одинаковом пределе измерения (100 $см^3$) и одинаковой цене деления (1 $см^3$).

Главные различия шкал обусловлены разной формой сосудов.
1. Форма сосуда. Мензурка а) имеет коническую форму (расширяется кверху), а мензурка б) — цилиндрическую (имеет одинаковое сечение по всей высоте).
2. Характер шкалы. Это основное различие.
- У мензурки б) (цилиндрической) из-за постоянства площади поперечного сечения одинаковому изменению объёма соответствует одинаковое изменение высоты уровня жидкости. Поэтому её шкала является равномерной — расстояние между соседними штрихами одинаково по всей высоте прибора.
- У мензурки а) (конической) площадь поперечного сечения увеличивается с высотой. Поэтому для добавления одного и того же объёма (например, 1 $см^3$) в нижней части сосуда требуется большее изменение высоты, чем в верхней. В результате её шкала является неравномерной — расстояние между штрихами уменьшается по мере движения вверх по шкале.
3. Удобство и точность считывания. Равномерная шкала мензурки б) обеспечивает одинаковую точность и удобство считывания показаний в любой её части. Неравномерная шкала мензурки а) позволяет с большей точностью измерять малые объёмы (где деления расположены далеко друг от друга), но менее точна и удобна при измерении объёмов, близких к максимальному (где деления сгущаются).

Ответ: Различия шкал состоят в их характере: у цилиндрической мензурки (б) шкала равномерная, а у конической (а) — неравномерная. Это вызвано разной формой сосудов и напрямую влияет на удобство и точность считывания показаний в разных частях диапазона измерений.