Номер 2.16, страница 7 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

§ 2. Измерение физических величин. Глава 1. Начальные сведения о физических понятиях - номер 2.16, страница 7.

2.16 [27] Измерив диаметр круга, изображённого на рисунке I-8, вычислите его площадь. Определите площадь круга, подсчитав в нём квадратики площадью 1 мм$^\text{2}$. Сравните численные результаты, полученные разными способами.

Рис. I-8

Для решения задачи выполним последовательно три действия: вычислим площадь круга по формуле, используя его диаметр; определим площадь, подсчитав количество квадратиков; сравним полученные результаты.

Дано:

Круг, вписанный в сетку.
Площадь одного квадратика сетки: $S_{кв} = 1 \text{ мм}^2$

Перевод в систему СИ не требуется, так как все вычисления и сравнения проводятся в миллиметрах. Сторона одного квадратика сетки равна $a = \sqrt{1 \text{ мм}^2} = 1 \text{ мм}$.

Найти:

1. Площадь круга $S_1$, вычисленную через диаметр.
2. Площадь круга $S_2$, определенную подсчетом квадратиков.
3. Сравнить $S_1$ и $S_2$.

Решение:

1. Вычисление площади круга через его диаметр

Измерим диаметр круга, подсчитав количество квадратиков, укладывающихся вдоль него. По рисунку видно, что диаметр круга равен 20 сторонам квадратиков.
$d = 20 \cdot a = 20 \cdot 1 \text{ мм} = 20 \text{ мм}$
Радиус круга равен половине диаметра:
$r = \frac{d}{2} = \frac{20 \text{ мм}}{2} = 10 \text{ мм}$
Площадь круга вычисляется по формуле:
$S_1 = \pi r^2$
Подставим значение радиуса и используем значение $\pi \approx 3,14$:
$S_1 = 3,14 \cdot (10 \text{ мм})^2 = 3,14 \cdot 100 \text{ мм}^2 = 314 \text{ мм}^2$
Для большей точности используем $\pi \approx 3,1416$:
$S_1 = 3,1416 \cdot 100 \text{ мм}^2 = 314,16 \text{ мм}^2$

Ответ: Площадь круга, вычисленная через диаметр, составляет $S_1 \approx 314 \text{ мм}^2$.

2. Определение площади круга путем подсчета квадратиков

Для определения площади этим способом нужно подсчитать количество квадратиков, находящихся внутри круга. Существуют разные методы подсчета, один из наиболее точных — подсчет количества квадратиков, центры которых лежат внутри круга. Площадь круга будет приблизительно равна этому количеству, умноженному на площадь одного квадратика.
$S_2 = N \cdot S_{кв}$, где $N$ — число квадратиков, чьи центры находятся внутри круга.
Проведем подсчет таких квадратиков, используя симметрию круга. Посчитаем их количество в одной четверти (квадранте) и умножим на 4.

• В столбцах с x-координатами центра 0.5, 1.5, 2.5 (3 столбца) находится по 10 квадратиков. Итого: $3 \cdot 10 = 30$.
• В столбцах с x-координатами центра 3.5, 4.5 (2 столбца) находится по 9 квадратиков. Итого: $2 \cdot 9 = 18$.
• В столбцах с x-координатами центра 5.5, 6.5 (2 столбца) находится по 8 квадратиков. Итого: $2 \cdot 8 = 16$.
• В столбце с x-координатой центра 7.5 находится 7 квадратиков. Итого: $1 \cdot 7 = 7$.
• В столбце с x-координатой центра 8.5 находится 5 квадратиков. Итого: $1 \cdot 5 = 5$.
• В столбце с x-координатой центра 9.5 находится 3 квадратика. Итого: $1 \cdot 3 = 3$.

Общее число квадратиков в первом квадранте (включая оси): $30 + 18 + 16 + 7 + 5 + 3 = 79$.
Общее число квадратиков во всем круге: $N = 79 \cdot 4 = 316$.
Таким образом, площадь, найденная подсчетом, равна:
$S_2 = 316 \cdot 1 \text{ мм}^2 = 316 \text{ мм}^2$.
Примечание: другой распространенный метод, $S \approx (N_{полных} + N_{граничных}/2)$, также дает близкий результат. Например, при подсчете $N_{полных} \approx 292$ и $N_{граничных} \approx 52$ получается $S \approx 292 + 52/2 = 318 \text{ мм}^2$. Результат зависит от способа подсчета, но должен быть близок к вычисленному по формуле.

Ответ: Площадь круга, определенная подсчетом квадратиков, составляет $S_2 \approx 316 \text{ мм}^2$.

3. Сравнение численных результатов, полученных разными способами

Сравним результаты, полученные двумя способами:
$S_1 \approx 314 \text{ мм}^2$ (расчет по формуле).
$S_2 \approx 316 \text{ мм}^2$ (подсчет квадратиков).
Абсолютная разница между результатами составляет:
$\Delta S = |S_2 - S_1| = |316 - 314| = 2 \text{ мм}^2$.
Относительная погрешность метода подсчета по сравнению с точным значением ($S_{точн} \approx 314,16 \text{ мм}^2$) составляет:
$\epsilon = \frac{|S_2 - S_{точн}|}{S_{точн}} \cdot 100\% = \frac{|316 - 314,16|}{314,16} \cdot 100\% \approx \frac{1,84}{314,16} \cdot 100\% \approx 0,59\%$.
Разница между результатами очень мала. Это показывает, что метод подсчета квадратиков (палетка) является хорошим способом для оценки площади фигур сложной формы.

Ответ: Результаты, полученные двумя способами ($314 \text{ мм}^2$ и $316 \text{ мм}^2$), очень близки друг к другу. Расхождение составляет около $0,6\%$, что свидетельствует о высокой точности метода оценки площади путем подсчета квадратиков для данного случая.