Страница 6 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Лукашик, Иванова

2.8° [21°] Чтобы определить диаметр проволоки, ученик воспользовался так называемым «методом рядов», намотав вплотную на карандаш 30 витков этой проволоки, которые заняли часть карандаша длиной 3 см (рис. I-5). Определите диаметр проволоки с учётом погрешности измерений.

Рис. I-5

Дано:

Количество витков проволоки, $N = 30$

Длина намотки, $L = 3 \text{ см}$

Цена деления линейки, $Ц = 1 \text{ мм}$

Найти:

Диаметр проволоки с учётом погрешности, $d_{изм}$

Решение:

Для определения диаметра тонкой проволоки используется «метод рядов». Суть метода заключается в измерении общей длины большого количества плотно уложенных витков проволоки и последующем делении этой длины на количество витков. Это позволяет уменьшить относительную погрешность измерения.

Общая длина намотки $L$ связана с диаметром проволоки $d$ и количеством витков $N$ следующим соотношением:

$L = N \cdot d$

Из этой формулы выразим диаметр проволоки:

$d = \frac{L}{N}$

Подставим данные из условия задачи. Удобнее вести расчеты в миллиметрах, так как диаметр проволоки обычно мал.

$L = 3 \text{ см} = 30 \text{ мм}$

$d = \frac{30 \text{ мм}}{30} = 1 \text{ мм}$

Теперь определим погрешность измерения. Погрешность прямого измерения длины с помощью линейки (или любого другого штрихового измерительного прибора) принимается равной цене деления этого прибора. На рисунке изображена линейка с ценой деления $1 \text{ мм}$. Следовательно, абсолютная погрешность измерения длины намотки $L$ составляет:

$\Delta L = 1 \text{ мм}$

Диаметр $d$ является результатом косвенного измерения (он вычисляется по формуле), поэтому его погрешность $\Delta d$ необходимо рассчитать. Так как количество витков $N$ является точной величиной (не измеряется, а подсчитывается), то погрешность для диаметра вычисляется по формуле:

$\Delta d = \frac{\Delta L}{N}$

Подставим числовые значения:

$\Delta d = \frac{1 \text{ мм}}{30} \approx 0.0333... \text{ мм}$

Согласно правилам обработки результатов измерений, значение абсолютной погрешности следует округлить до одной значащей цифры:

$\Delta d \approx 0.03 \text{ мм}$

Измеренное значение величины должно быть округлено до того же десятичного разряда, что и его погрешность. Поскольку погрешность $\Delta d$ округлена до сотых, то и значение диаметра $d$ нужно представить с точностью до сотых долей миллиметра:

$d = 1.00 \text{ мм}$

Окончательный результат записывается в интервальной форме $d_{изм} = d \pm \Delta d$.

$d_{изм} = (1.00 \pm 0.03) \text{ мм}$

Ответ: диаметр проволоки с учётом погрешности измерений равен $(1.00 \pm 0.03) \text{ мм}$.

2.9° [22°] Определите длину окружности головки винта или гвоздя один раз способом, изображённым на рисунке I-6, другой раз — измеряя диаметр и умножая его на число $ \pi = 3,14 $. Результаты сравните и запишите в тетради.

Рис. I-6

Дано:

Расстояние, пройденное за один оборот (измерено по рис. I-6): $s = 1,1$ см
Диаметр головки винта (измерен по рис. I-6): $d \approx 0,35$ см
Число $\pi \approx 3,14$

Найти:

$L_1$ — длина окружности, определенная первым способом
$L_2$ — длина окружности, определенная вторым способом
Сравнить $L_1$ и $L_2$

Решение:

Определение длины окружности способом, изображённым на рисунке I-6

Первый способ заключается в прямом измерении длины окружности. Для этого головку винта прокатывают по линейке ровно на один полный оборот. Расстояние, которое пройдет винт, будет равно длине окружности его головки.
Из рисунка видно, что, сделав один полный оборот, винт переместился от отметки «0» до отметки $1,1$ см.
Следовательно, длина окружности $L_1$, измеренная этим способом, равна пройденному расстоянию $s$.
$L_1 = s = 1,1$ см.

Ответ: Длина окружности, определенная первым способом, равна $1,1$ см.

Определение длины окружности через измерение диаметра

Второй способ основан на математической формуле для вычисления длины окружности $L$ через её диаметр $d$:
$L = \pi d$
Измерим диаметр головки винта по рисунку, сопоставив его с делениями линейки. Диаметр составляет примерно $3,5$ мм, или $d \approx 0,35$ см.
Теперь рассчитаем длину окружности, используя заданное значение $\pi \approx 3,14$:
$L_2 = \pi \cdot d \approx 3,14 \cdot 0,35 \text{ см} = 1,099$ см.

Ответ: Длина окружности, вычисленная по диаметру, равна $1,099$ см.

Сравнение результатов

Сравним результаты, полученные двумя способами:
$L_1 = 1,1$ см
$L_2 = 1,099$ см
Округлив результат второго вычисления до десятых долей сантиметра, получим $L_2 \approx 1,1$ см, что совпадает с результатом первого измерения.
Разница между значениями составляет $1,1 \text{ см} - 1,099 \text{ см} = 0,001 \text{ см}$ ($0,01$ мм). Такое незначительное расхождение объясняется погрешностями измерений (неточность при прокатывании винта ровно на один оборот, сложность точного считывания показаний с линейки) и использованием приближенного значения числа $\pi$.

Ответ: Результаты, полученные двумя способами, практически совпадают, что подтверждает корректность обоих методов.

2.10° [н] Измерьте длину окружности водопроводной трубы, воспользовавшись полоской бумаги и линейкой. Предложите другой способ получения нужного результата.

Измерение длины окружности водопроводной трубы, воспользовавшись полоской бумаги и линейкой

Решение

Этот метод является прямым измерением длины окружности. Для его выполнения необходимо совершить следующие действия:
1. Взять гибкий материал, например, полоску бумаги, нить или измерительную ленту (швейный сантиметр).
2. Плотно обернуть этот материал вокруг трубы ровно один раз.
3. Поставить метку на материале в том месте, где его конец совпадает с началом, замыкая кольцо.
4. Развернуть материал и положить его на ровную поверхность.
5. С помощью линейки измерить расстояние от начала материала до поставленной метки.
Полученное значение и будет искомой длиной окружности трубы.

Ответ: необходимо обернуть трубу полоской бумаги, отметить на ней длину одного полного оборота, а затем измерить эту длину с помощью линейки.

Другой способ получения нужного результата

Решение

Альтернативный способ является косвенным и основывается на использовании математической формулы, которая связывает длину окружности $C$ с её диаметром $d$. Формула имеет вид:
$C = \pi \cdot d$
где $d$ – это диаметр окружности, а $\pi$ (пи) – математическая константа, значение которой приблизительно равно $3,14$.
Порядок действий в этом случае следующий:
1. С помощью линейки или, для получения более точного результата, штангенциркуля, измерить внешний диаметр $d$ трубы.
2. Подставить измеренное значение диаметра в указанную выше формулу.
3. Выполнить умножение, чтобы найти длину окружности $C$.
Например, если измеренный диаметр трубы составляет $d = 50$ мм, то длина ее окружности будет приблизительно равна $C \approx 3,14 \cdot 50 \text{ мм} = 157 \text{ мм}$.

Ответ: можно измерить диаметр трубы $d$ (например, с помощью линейки), а затем рассчитать длину окружности по формуле $C = \pi d$.

2.11° [23°] Возьмите несколько одинаковых монет, сложите их так, как показано на рисунке I-7, и измерьте линейкой, имеющей цену деления 1 мм, толщину получившейся стопки. Определите толщину одной монеты. В каком случае толщина одной монеты будет измерена более точно: с малым или большим числом монет?

Рис. I-7

Определите толщину одной монеты.

Для определения толщины одной монеты используется метод рядов. Его суть в том, чтобы измерить общую высоту стопки из большого числа одинаковых предметов (монет), а затем разделить полученное значение на их количество. Этот способ позволяет значительно уменьшить погрешность измерения для одного предмета, так как толщина одной монеты слишком мала для точного измерения обычной линейкой.

Проведем расчет на основе примерных данных, которые можно получить, выполнив задание.

Дано:

Количество монет: $N = 30$ шт.

Высота стопки монет (измерена линейкой): $H = 66 \text{ мм}$

Цена деления линейки: $c = 1 \text{ мм}$

Перевод в систему СИ:
$H = 66 \text{ мм} = 0.066 \text{ м}$

Найти:

Толщину одной монеты: $h$

Решение:

Толщина одной монеты $h$ вычисляется как отношение общей высоты стопки $H$ к количеству монет $N$ в ней.

Формула для расчета: $$h = \frac{H}{N}$$

Подставим наши примерные значения в формулу: $$h = \frac{66 \text{ мм}}{30} = 2.2 \text{ мм}$$

Ответ: толщина одной монеты, рассчитанная на основе примерных данных, составляет 2.2 мм.

В каком случае толщина одной монеты будет измерена более точно: с малым или большим числом монет?

Точность измерения толщины одной монеты будет выше при использовании большего числа монет.

Это объясняется тем, как распределяется погрешность измерения. Погрешность прямого измерения (в данном случае, высоты стопки $H$ линейкой) зависит от цены ее деления. Абсолютная погрешность измерения прибором обычно принимается равной половине цены деления. Для линейки с ценой деления $c = 1 \text{ мм}$ абсолютная погрешность измерения высоты стопки $\Delta H$ составляет $0.5 \text{ мм}$. Эта погрешность является практически постоянной для данного измерительного прибора, независимо от измеряемой высоты.

Когда мы вычисляем толщину одной монеты по формуле $h = H/N$, погрешность этого косвенного измерения ($\Delta h$) также делится на количество монет $N$: $$\Delta h = \frac{\Delta H}{N}$$ Из этой формулы видно, что чем больше количество монет $N$ (знаменатель дроби), тем меньше будет абсолютная погрешность $\Delta h$ для вычисленной толщины одной монеты.

Рассмотрим на примере:

- Если взять 5 монет ($N_1 = 5$), то погрешность определения толщины одной монеты составит $\Delta h_1 = \frac{0.5 \text{ мм}}{5} = 0.1 \text{ мм}$.

- Если взять 50 монет ($N_2 = 50$), то погрешность составит $\Delta h_2 = \frac{0.5 \text{ мм}}{50} = 0.01 \text{ мм}$.

Таким образом, во втором случае результат измерения получается в 10 раз точнее.

Ответ: толщина одной монеты будет измерена более точно с большим числом монет.

2.12° [н] Определите толщину листа вашего учебника методом, описанным в предыдущей задаче. Запишите результат в мм и мкм.

Дано:

Поскольку это практическая задача, для ее решения необходимо провести измерения. Проведем мысленный эксперимент с реалистичными данными для типичного учебника.
Возьмем стопку из $N$ листов учебника.
Количество листов в стопке, $N = 150$
Измерим ее толщину $H$ с помощью линейки.
Общая толщина стопки листов, $H = 18$ мм

$H = 18 \text{ мм} = 0,018 \text{ м}$

Найти:

Толщину одного листа $h$ — ? (в мм и мкм)

Решение:

Для определения толщины одного листа используется метод, упомянутый в условии — метод рядов. Его суть заключается в измерении общей толщины $H$ стопки, состоящей из большого количества $N$ одинаковых листов, и последующем нахождении толщины одного листа $h$ делением общей толщины на количество листов. Этот метод позволяет значительно уменьшить относительную погрешность измерения.

Формула для расчета толщины одного листа:

$h = \frac{H}{N}$

Подставим в формулу взятые нами экспериментальные данные:

$h = \frac{18 \text{ мм}}{150} = 0,12 \text{ мм}$

Теперь переведем полученное значение в микрометры (мкм). Известно, что в 1 миллиметре содержится 1000 микрометров: $1 \text{ мм} = 1000 \text{ мкм}$.

$h = 0,12 \text{ мм} \cdot 1000 \frac{\text{мкм}}{\text{мм}} = 120 \text{ мкм}$

Ответ: толщина одного листа учебника составляет $0,12$ мм или $120$ мкм.

2.13⁰ [24⁰] Как с помощью измерительной линейки определить средние диаметры мелких однородных предметов, например зёрен пшена, чечевицы, булавочных головок, зёрен мака и т. п.?

Решение

Чтобы определить средний диаметр мелких однородных предметов, таких как зёрна пшена или мака, с помощью измерительной линейки, используется так называемый метод рядов. Прямое измерение одного такого предмета с помощью линейки невозможно или будет иметь очень большую погрешность, так как его размер сопоставим с ценой деления линейки (обычно 1 мм) или даже меньше. Метод рядов позволяет значительно повысить точность измерения.

Порядок действий следующий:

1. Возьмите достаточно большое количество $N$ исследуемых предметов (например, 20, 50 или 100 штук). Чем больше предметов будет в ряду, тем точнее окажется результат измерения.

2. Выложите эти предметы на ровную поверхность (например, на стол) в один прямой ряд. Предметы должны плотно прилегать друг к другу, без зазоров и нахлестов. Чтобы ряд получился ровным, можно расположить его вдоль края линейки или между двумя параллельными брусками.

3. С помощью измерительной линейки измерьте общую длину $L$ всего получившегося ряда. Измерение следует проводить от начала первого предмета до конца последнего.

4. Рассчитайте средний диаметр одного предмета $d$. Для этого нужно разделить общую длину ряда $L$ на количество предметов $N$ в этом ряду.

Формула для расчета среднего диаметра:

$d = \frac{L}{N}$

где $d$ – искомый средний диаметр, $L$ – общая длина ряда предметов, $N$ – количество предметов в ряду.

Этот метод эффективен, поскольку погрешность измерения длины всего ряда распределяется на все предметы, и в результате погрешность определения диаметра одного предмета существенно уменьшается.

Ответ:

Для определения среднего диаметра мелкого однородного предмета необходимо выложить некоторое количество $N$ этих предметов в один плотный ряд, измерить его общую длину $L$ с помощью линейки, а затем разделить полученную длину на количество предметов: $d = \frac{L}{N}$.

2.14 [25] а) При строительстве дома уложили железобетонную плиту длиной 5,8 м и шириной 1,7 м. Определите площадь, которую заняла эта плита.

б) В любом цирке мира диаметр арены равен 13 м. Какую площадь в цирке занимает арена?

а) При строительстве дома уложили железобетонную плиту длиной 5,8 м и шириной 1,7 м. Определите площадь, которую заняла эта плита.

Дано:

Длина плиты, $l = 5,8 \text{ м}$
Ширина плиты, $w = 1,7 \text{ м}$

Все исходные данные уже представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Площадь плиты, $S$ - ?

Решение:

Железобетонная плита имеет прямоугольную форму. Площадь прямоугольника вычисляется как произведение его длины на ширину. Используем формулу площади прямоугольника: $S = l \cdot w$.

Подставим числовые значения в формулу:

$S = 5,8 \text{ м} \cdot 1,7 \text{ м} = 9,86 \text{ м}^2$.

Ответ: площадь, которую заняла эта плита, равна $9,86 \text{ м}^2$.

б) В любом цирке мира диаметр арены равен 13 м. Какую площадь в цирке занимает арена?

Дано:

Диаметр арены, $d = 13 \text{ м}$

Исходные данные уже представлены в Международной системе единиц (СИ).

Найти:

Площадь арены, $S$ - ?

Решение:

Арена цирка имеет форму круга. Площадь круга можно рассчитать по формуле через его диаметр: $S = \frac{\pi d^2}{4}$.

Радиус арены равен половине диаметра:

$r = \frac{d}{2} = \frac{13 \text{ м}}{2} = 6,5 \text{ м}$

Теперь вычислим площадь, используя формулу $S = \pi r^2$ и принимая значение $\pi \approx 3,14$:

$S = 3,14 \cdot (6,5 \text{ м})^2 = 3,14 \cdot 42,25 \text{ м}^2 \approx 132,665 \text{ м}^2$.

Округлим полученный результат до сотых:

$S \approx 132,67 \text{ м}^2$.

Ответ: арена в цирке занимает площадь примерно $132,67 \text{ м}^2$.

2.15* [26*]¹ Какой длины будет полоса, состоящая из квадратных кусочков площадью $1 \text{ см}^2$, вырезанных из листа площадью $1 \text{ м}^2$?

Дано:

Площадь одного квадратного кусочка $S_1 = 1 \text{ см}^2$.

Площадь исходного листа $S_{общ} = 1 \text{ м}^2$.

Перевод всех данных в систему СИ не является строго обязательным, так как можно вести расчеты в сантиметрах, но для полноты приведем площади к одной системе. Удобнее будет работать с квадратными сантиметрами.

Площадь листа в квадратных сантиметрах:

Так как $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$, то $S_{общ} = 1 \text{ м}^2 = (100 \text{ см})^2 = 10000 \text{ см}^2$.

Площадь одного кусочка уже дана в см²: $S_1 = 1 \text{ см}^2$.

Найти:

Длину полосы $L$.

Решение:

1. Сначала определим, сколько всего квадратных кусочков ($N$) можно вырезать из большого листа. Для этого нужно общую площадь листа разделить на площадь одного кусочка.

$N = \frac{S_{общ}}{S_1} = \frac{10000 \text{ см}^2}{1 \text{ см}^2} = 10000$.

Таким образом, мы получим 10000 одинаковых квадратных кусочков.

2. Теперь найдем размер одного такого кусочка. Поскольку каждый кусочек является квадратом с площадью $S_1 = 1 \text{ см}^2$, то длина его стороны ($a_1$) равна квадратному корню из площади.

$a_1 = \sqrt{S_1} = \sqrt{1 \text{ см}^2} = 1 \text{ см}$.

3. Полоса составляется путем выкладывания всех 10000 кусочков в один ряд, вплотную друг к другу. Длина такой полосы будет равна сумме длин всех кусочков, или, что то же самое, произведению количества кусочков на длину стороны одного кусочка.

$L = N \times a_1 = 10000 \times 1 \text{ см} = 10000 \text{ см}$.

4. Полученный результат выразим в более крупных единицах – метрах. В одном метре содержится 100 сантиметров.

$L = 10000 \text{ см} = \frac{10000}{100} \text{ м} = 100 \text{ м}$.

Ответ: длина полосы будет равна 100 м.