Номер 9, страница 104 - гдз по физике 7 класс дидактические материалы Марон, Марон

Контрольные работы. КР-3. Архимедова сила. Вариант 4 - номер 9, страница 104.

Условие.

9. Металлический цилиндр подвесили на пружине и полностью погрузили в воду. При этом растяжение пружины уменьшилось в 1,5 раза. Рассчитайте плотность металла.

Решение.

Дано:

$ \frac{x_1}{x_2} = 1,5 $

$ \rho_в = 1000 \frac{кг}{м^3} $ (плотность воды)

$ g \approx 9,8 \frac{Н}{кг} $

Найти:

$ \rho_м $ - плотность металла.

Решение:

Рассмотрим два случая.

1. Цилиндр висит на пружине в воздухе. На него действуют две силы: сила тяжести $F_т$, направленная вниз, и сила упругости пружины $F_{упр1}$, направленная вверх. По первому закону Ньютона, в состоянии покоя эти силы уравновешены:

$ F_{упр1} = F_т $

Сила тяжести определяется как $F_т = m_м g = \rho_м V g$, где $m_м$ – масса цилиндра, $\rho_м$ – плотность металла, $\text{V}$ – объем цилиндра, $\text{g}$ – ускорение свободного падения.

Сила упругости по закону Гука равна $F_{упр1} = k x_1$, где $\text{k}$ – жесткость пружины, $x_1$ – ее растяжение.

Таким образом, для первого случая получаем уравнение:

$ k x_1 = \rho_м V g $ (1)

2. Цилиндр полностью погружен в воду. Теперь на него действуют три силы: сила тяжести $F_т$ (вниз), сила упругости пружины $F_{упр2}$ (вверх) и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_А$ (вверх). Условие равновесия:

$ F_{упр2} + F_А = F_т $

Сила Архимеда определяется как $F_А = \rho_в g V$, где $\rho_в$ – плотность воды.

Сила упругости теперь равна $F_{упр2} = k x_2$, где $x_2$ – новое растяжение пружины.

Подставим все выражения в уравнение равновесия:

$ k x_2 + \rho_в g V = \rho_м V g $

Отсюда выразим $k x_2$:

$ k x_2 = \rho_м V g - \rho_в g V = (\rho_м - \rho_в) V g $ (2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений. Разделим уравнение (1) на уравнение (2):

$ \frac{k x_1}{k x_2} = \frac{\rho_м V g}{(\rho_м - \rho_в) V g} $

Сократим одинаковые множители $\text{k}$, $\text{V}$ и $\text{g}$:

$ \frac{x_1}{x_2} = \frac{\rho_м}{\rho_м - \rho_в} $

По условию задачи, растяжение пружины уменьшилось в 1,5 раза, то есть $ \frac{x_1}{x_2} = 1,5 $. Подставим это значение в полученное уравнение:

$ 1,5 = \frac{\rho_м}{\rho_м - \rho_в} $

Теперь решим это уравнение относительно $\rho_м$:

$ 1,5 (\rho_м - \rho_в) = \rho_м $

$ 1,5 \rho_м - 1,5 \rho_в = \rho_м $

$ 1,5 \rho_м - \rho_м = 1,5 \rho_в $

$ 0,5 \rho_м = 1,5 \rho_в $

$ \rho_м = \frac{1,5}{0,5} \rho_в = 3 \rho_в $

Подставим известное значение плотности воды $\rho_в = 1000 \frac{кг}{м^3}$:

$ \rho_м = 3 \cdot 1000 \frac{кг}{м^3} = 3000 \frac{кг}{м^3} $

Ответ: плотность металла равна $3000 \frac{кг}{м^3}$.