Номер 228, страница 34 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Взаимодействие тел. Плотность вещества - номер 228, страница 34.

Условие.

* 228. Сплав золота и серебра плотностью $14~000~\text{кг}/\text{м}^3$ имеет массу 0,4 кг. Рассчитайте массу золота в сплаве, считая объём сплава равным сумме объёмов его составных частей.

Решение.

Дано:

Плотность сплава, $\rho_{сп} = 14000 \text{ кг/м}^3$

Масса сплава, $m_{сп} = 0.4 \text{ кг}$

Плотность золота, $\rho_{з} = 19300 \text{ кг/м}^3$ (справочное значение)

Плотность серебра, $\rho_{с} = 10500 \text{ кг/м}^3$ (справочное значение)

Найти:

Массу золота в сплаве, $m_{з}$.

Решение:

Масса всего сплава $m_{сп}$ равна сумме масс золота $m_{з}$ и серебра $m_{с}$:

$m_{сп} = m_{з} + m_{с}$

Отсюда можем выразить массу серебра:

$m_{с} = m_{сп} - m_{з}$ (1)

По условию задачи, объём сплава $V_{сп}$ равен сумме объёмов его составных частей, то есть объёма золота $V_{з}$ и объёма серебра $V_{с}$:

$V_{сп} = V_{з} + V_{с}$

Зная, что объём связан с массой и плотностью по формуле $V = m/\rho$, мы можем переписать уравнение объёмов следующим образом:

$\frac{m_{сп}}{\rho_{сп}} = \frac{m_{з}}{\rho_{з}} + \frac{m_{с}}{\rho_{с}}$ (2)

Теперь подставим выражение для массы серебра (1) в уравнение объёмов (2):

$\frac{m_{сп}}{\rho_{сп}} = \frac{m_{з}}{\rho_{з}} + \frac{m_{сп} - m_{з}}{\rho_{с}}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие искомую массу золота $m_{з}$:

$\frac{m_{сп}}{\rho_{сп}} - \frac{m_{сп}}{\rho_{с}} = \frac{m_{з}}{\rho_{з}} - \frac{m_{з}}{\rho_{с}}$

Вынесем общие множители за скобки:

$m_{сп} \cdot (\frac{1}{\rho_{сп}} - \frac{1}{\rho_{с}}) = m_{з} \cdot (\frac{1}{\rho_{з}} - \frac{1}{\rho_{с}})$

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю:

$m_{сп} \cdot \frac{\rho_{с} - \rho_{сп}}{\rho_{сп} \cdot \rho_{с}} = m_{з} \cdot \frac{\rho_{с} - \rho_{з}}{\rho_{з} \cdot \rho_{с}}$

Выразим отсюда массу золота $m_{з}$:

$m_{з} = m_{сп} \cdot \frac{\rho_{с} - \rho_{сп}}{\rho_{сп} \cdot \rho_{с}} \cdot \frac{\rho_{з} \cdot \rho_{с}}{\rho_{с} - \rho_{з}} = m_{сп} \cdot \frac{\rho_{з}}{\rho_{сп}} \cdot \frac{\rho_{с} - \rho_{сп}}{\rho_{с} - \rho_{з}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m_{з} = 0.4 \text{ кг} \cdot \frac{19300 \text{ кг/м}^3}{14000 \text{ кг/м}^3} \cdot \frac{10500 \text{ кг/м}^3 - 14000 \text{ кг/м}^3}{10500 \text{ кг/м}^3 - 19300 \text{ кг/м}^3}$

$m_{з} = 0.4 \cdot \frac{193}{140} \cdot \frac{-3500}{-8800} = 0.4 \cdot \frac{193}{140} \cdot \frac{35}{88}$

$m_{з} = 0.4 \cdot \frac{193}{4 \cdot 35} \cdot \frac{35}{88} = 0.4 \cdot \frac{193}{4 \cdot 88} = \frac{0.1 \cdot 193}{88} = \frac{19.3}{88} \approx 0.2193 \text{ кг}$

Округлив результат до сотых, получим 0,22 кг.

Ответ: масса золота в сплаве составляет примерно 0,22 кг.