Номер 229, страница 34 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Взаимодействие тел. Плотность вещества - номер 229, страница 34.

Условие.

* 229. Стальная Эйфелева башня в Париже высотой 300 м имеет массу 7200 т. Какую массу будет иметь модель этой башни высотой 30 см, сделанная из вещества, плотность которого в 3 раза меньше плотности стали?

Решение.

Дано:

Высота Эйфелевой башни: $h_1 = 300$ м
Масса Эйфелевой башни: $m_1 = 7200$ т = $7200 \cdot 1000$ кг = $7.2 \cdot 10^6$ кг
Высота модели башни: $h_2 = 30$ см = $0.3$ м
Плотность материала башни: $\rho_1$
Плотность материала модели: $\rho_2 = \frac{\rho_1}{3}$

Найти:

Массу модели башни: $m_2$

Решение:

Масса любого тела вычисляется по формуле $m = \rho \cdot V$, где $\rho$ – это плотность вещества, из которого сделано тело, а $\text{V}$ – его объем.

Для настоящей Эйфелевой башни можем записать: $m_1 = \rho_1 \cdot V_1$.

Для ее модели: $m_2 = \rho_2 \cdot V_2$.

Модель является геометрически подобной копией настоящей башни. Отношение объемов двух подобных тел равно кубу коэффициента подобия. Коэффициент подобия $\text{k}$ можно найти как отношение их линейных размеров, например, высот:

$k = \frac{h_2}{h_1}$

Тогда отношение объемов будет:

$\frac{V_2}{V_1} = k^3 = (\frac{h_2}{h_1})^3$

Отсюда можно выразить объем модели: $V_2 = V_1 \cdot (\frac{h_2}{h_1})^3$.

Теперь подставим это выражение в формулу для массы модели:

$m_2 = \rho_2 \cdot V_1 \cdot (\frac{h_2}{h_1})^3$

По условию задачи, плотность материала модели в 3 раза меньше плотности стали: $\rho_2 = \frac{\rho_1}{3}$. Подставим это в формулу:

$m_2 = \frac{\rho_1}{3} \cdot V_1 \cdot (\frac{h_2}{h_1})^3$

Заметим, что произведение $\rho_1 \cdot V_1$ равно массе настоящей башни $m_1$. Таким образом, получаем конечную формулу:

$m_2 = \frac{m_1}{3} \cdot (\frac{h_2}{h_1})^3$

Подставим числовые значения, предварительно переведенные в систему СИ:

$m_2 = \frac{7.2 \cdot 10^6 \text{ кг}}{3} \cdot (\frac{0.3 \text{ м}}{300 \text{ м}})^3$

Упростим выражение в скобках:

$\frac{0.3}{300} = \frac{3}{3000} = \frac{1}{1000} = 10^{-3}$

Продолжим вычисления:

$m_2 = 2.4 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot (10^{-3})^3$

$m_2 = 2.4 \cdot 10^6 \text{ кг} \cdot 10^{-9}$

$m_2 = 2.4 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$

Переведем результат в граммы для более наглядного представления ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$):

$m_2 = 2.4 \cdot 10^{-3} \cdot 1000 \text{ г} = 2.4 \text{ г}$

Ответ: масса модели башни будет равна $2.4$ г.