Номер 24, страница 8 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Физика и её роль в познании окружающего мира. Физические величины. Измерение физических величин. Точность и погрешность измерений - номер 24, страница 8.

Условие.

24. Ученика попросили определить толщину проволоки. Для проведения опыта он взял обычную линейку и начал плотно наматывать на неё проволоку виток к витку. Результаты измерений оказались такими: при намотке 10 витков толщина намотки составила $(5 \pm 1)$ мм, при намотке 30 витков — $(15 \pm 1)$ мм, при намотке 48 витков — $(23 \pm 1)$ мм.

а) Какое значение толщины проволоки с учётом погрешности получил ученик при каждом измерении?

б) В каком из трёх экспериментов точность измерения толщины проволоки получилась наибольшая?

в) Пользуясь результатами измерения, которое позволяет определить толщину проволоки с наибольшей точностью, определите длину проволоки, которую нужно взять, чтобы обмотать полностью линейку длиной 60 см. Ширина линейки 1 см, а толщина 2 мм.

Решение.

а) Какое значение толщины проволоки с учётом погрешности получил ученик при каждом измерении?

Толщина проволоки $\text{d}$ определяется как частное от деления толщины намотки $\text{L}$ на количество витков $\text{N}$. Абсолютная погрешность измерения толщины проволоки $\Delta d$ вычисляется по формуле $\Delta d = \frac{\Delta L}{N}$, так как количество витков $\text{N}$ является точной величиной. Результат измерения записывается в виде $d \pm \Delta d$.

1. Для первого измерения при $N_1 = 10$ витков и толщине намотки $L_1 = (5 \pm 1)$ мм:
Среднее значение толщины: $d_1 = \frac{5 \text{ мм}}{10} = 0.5$ мм.
Абсолютная погрешность: $\Delta d_1 = \frac{1 \text{ мм}}{10} = 0.1$ мм.
Значение толщины проволоки: $(0.5 \pm 0.1)$ мм.

2. Для второго измерения при $N_2 = 30$ витков и толщине намотки $L_2 = (15 \pm 1)$ мм:
Среднее значение толщины: $d_2 = \frac{15 \text{ мм}}{30} = 0.5$ мм.
Абсолютная погрешность: $\Delta d_2 = \frac{1 \text{ мм}}{30} \approx 0.033$ мм.
С учётом правил округления, погрешность составляет $\Delta d_2 \approx 0.03$ мм. Среднее значение округляем до того же десятичного разряда: $d_2 = 0.50$ мм.
Значение толщины проволоки: $(0.50 \pm 0.03)$ мм.

3. Для третьего измерения при $N_3 = 48$ витков и толщине намотки $L_3 = (23 \pm 1)$ мм:
Среднее значение толщины: $d_3 = \frac{23 \text{ мм}}{48} \approx 0.479$ мм.
Абсолютная погрешность: $\Delta d_3 = \frac{1 \text{ мм}}{48} \approx 0.0208$ мм.
Округляем погрешность до $\Delta d_3 \approx 0.02$ мм. Среднее значение округляем до сотых: $d_3 \approx 0.48$ мм.
Значение толщины проволоки: $(0.48 \pm 0.02)$ мм.

Ответ: в первом измерении $(0.5 \pm 0.1)$ мм; во втором измерении $(0.50 \pm 0.03)$ мм; в третьем измерении $(0.48 \pm 0.02)$ мм.

б) В каком из трёх экспериментов точность измерения толщины проволоки получилась наибольшая?

Точность измерения определяется относительной погрешностью $\epsilon = \frac{\Delta d}{d}$. Чем меньше относительная погрешность, тем выше точность. Сравним относительные погрешности для трёх экспериментов:

1. Первый эксперимент: $\epsilon_1 = \frac{0.1}{0.5} = 0.2$ или 20%.

2. Второй эксперимент: $\epsilon_2 = \frac{1/30}{15/30} = \frac{1}{15} \approx 0.067$ или 6.7%.

3. Третий эксперимент: $\epsilon_3 = \frac{1/48}{23/48} = \frac{1}{23} \approx 0.043$ или 4.3%.

Так как $\epsilon_3 < \epsilon_2 < \epsilon_1$, наименьшая относительная погрешность, а следовательно, наибольшая точность, была достигнута в третьем эксперименте.

Ответ: наибольшая точность измерения получилась в третьем эксперименте (при намотке 48 витков).

в) Пользуясь результатами измерения, которое позволяет определить толщину проволоки с наибольшей точностью, определите длину проволоки, которую нужно взять, чтобы обмотать полностью линейку длиной 60 см. Ширина линейки 1 см, а толщина 2 мм.

Дано:

Толщина проволоки (из наиболее точного измерения): $d = 0.48$ мм
Длина линейки: $L_{лин} = 60$ см
Ширина линейки: $w = 1$ см
Толщина линейки: $t = 2$ мм

Перевод в систему СИ (хотя удобнее считать в мм):
$d = 0.48 \times 10^{-3}$ м
$L_{лин} = 0.6$ м
$w = 0.01$ м
$t = 0.002$ м

Найти:

Длину проволоки $L_{пров}$.

Решение:

1. Сначала определим, сколько витков проволоки можно намотать на всю длину линейки. Для этого длину линейки разделим на толщину проволоки. Переведём все величины в миллиметры для удобства расчётов:
$L_{лин} = 60$ см $= 600$ мм.
$d = 0.48$ мм.
Число витков $N = \frac{L_{лин}}{d} = \frac{600 \text{ мм}}{0.48 \text{ мм}} = 1250$ витков.

2. Теперь найдём длину одного витка проволоки. Один виток обматывает линейку по её поперечному сечению, которое представляет собой прямоугольник со сторонами, равными ширине и толщине линейки. Длина витка равна периметру этого прямоугольника.
$w = 1$ см $= 10$ мм.
$t = 2$ мм.
Длина одного витка: $l_{витка} = 2 \cdot (w + t) = 2 \cdot (10 \text{ мм} + 2 \text{ мм}) = 2 \cdot 12 \text{ мм} = 24$ мм.

3. Для нахождения общей длины проволоки умножим количество витков на длину одного витка:
$L_{пров} = N \cdot l_{витка} = 1250 \cdot 24 \text{ мм} = 30000$ мм.

4. Переведём полученный результат в метры:
$L_{пров} = 30000$ мм $= 30$ м.

Ответ: чтобы полностью обмотать линейку, нужно взять проволоку длиной 30 м.