Номер 277, страница 39 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Взаимодействие тел. Сила упругости. Закон Гука - номер 277, страница 39.

Условие.

277. На занятиях кружка по физике Андрей решил изучить, как жёсткость системы одинаковых пружин, соединённых параллельно, зависит от их количества. Для этого он подвесил на шесть вертикальных, параллельно соединённых пружин груз массой 120 г, а затем, убирая по одной пружине, следил за изменением удлинения оставшихся. В таблице представлены полученные результаты.

Количество пружин	Удлинение пружины, см
6	2,0
5	2,4
4	3,0
3	4,0
2	6,0
1	12,0

Какой вывод о зависимости жёсткости системы параллельно соединённых одинаковых пружин от их количества можно сделать по результатам исследования? Ответ поясните.

Решение.

Дано:

Масса груза $m = 120 \text{ г}$

Ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$

Результаты измерений:

Количество пружин $n_1 = 6$, удлинение $\Delta l_1 = 2,0 \text{ см}$

Количество пружин $n_2 = 5$, удлинение $\Delta l_2 = 2,4 \text{ см}$

Количество пружин $n_3 = 4$, удлинение $\Delta l_3 = 3,0 \text{ см}$

Количество пружин $n_4 = 3$, удлинение $\Delta l_4 = 4,0 \text{ см}$

Количество пружин $n_5 = 2$, удлинение $\Delta l_5 = 6,0 \text{ см}$

Количество пружин $n_6 = 1$, удлинение $\Delta l_6 = 12,0 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$m = 120 \text{ г} = 0,12 \text{ кг}$

$\Delta l_1 = 2,0 \text{ см} = 0,02 \text{ м}$

$\Delta l_2 = 2,4 \text{ см} = 0,024 \text{ м}$

$\Delta l_3 = 3,0 \text{ см} = 0,03 \text{ м}$

$\Delta l_4 = 4,0 \text{ см} = 0,04 \text{ м}$

$\Delta l_5 = 6,0 \text{ см} = 0,06 \text{ м}$

$\Delta l_6 = 12,0 \text{ см} = 0,12 \text{ м}$

Найти:

Зависимость жёсткости системы пружин $k_{общ}$ от их количества $\text{n}$.

Решение:

Когда груз подвешен на пружинах, система находится в равновесии. Это означает, что сила тяжести, действующая на груз, уравновешена суммарной силой упругости системы пружин.

Сила тяжести: $F_{тяж} = mg$.

Сила упругости системы пружин (по закону Гука): $F_{упр} = k_{общ} \Delta l$, где $k_{общ}$ — общая жёсткость системы, а $\Delta l$ — её удлинение.

Из условия равновесия $F_{тяж} = F_{упр}$ следует, что $mg = k_{общ} \Delta l$.

Отсюда можно выразить общую жёсткость системы: $k_{общ} = \frac{mg}{\Delta l}$.

Вычислим силу тяжести, действующую на груз:

$F_{тяж} = 0,12 \text{ кг} \cdot 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}} = 1,2 \text{ Н}$.

Теперь, используя данные из таблицы, рассчитаем общую жёсткость для каждого случая.

1. Для одной пружины ($n=1$):

$k_1 = \frac{1,2 \text{ Н}}{0,12 \text{ м}} = 10 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$. Это жёсткость одной пружины, обозначим её $k_0$.

2. Для двух пружин ($n=2$):

$k_2 = \frac{1,2 \text{ Н}}{0,06 \text{ м}} = 20 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.

3. Для трёх пружин ($n=3$):

$k_3 = \frac{1,2 \text{ Н}}{0,04 \text{ м}} = 30 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.

4. Для четырёх пружин ($n=4$):

$k_4 = \frac{1,2 \text{ Н}}{0,03 \text{ м}} = 40 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.

5. Для пяти пружин ($n=5$):

$k_5 = \frac{1,2 \text{ Н}}{0,024 \text{ м}} = 50 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.

6. Для шести пружин ($n=6$):

$k_6 = \frac{1,2 \text{ Н}}{0,02 \text{ м}} = 60 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$.

Сравним полученные значения жёсткости системы с жёсткостью одной пружины $k_0 = 10 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$:

$k_1 = 1 \cdot k_0 = 10 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$k_2 = 2 \cdot k_0 = 20 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$k_3 = 3 \cdot k_0 = 30 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$k_4 = 4 \cdot k_0 = 40 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$k_5 = 5 \cdot k_0 = 50 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

$k_6 = 6 \cdot k_0 = 60 \frac{\text{Н}}{\text{м}}$

Из расчётов видно, что общая жёсткость системы прямо пропорциональна количеству пружин в ней. Общая жёсткость системы из $\text{n}$ одинаковых параллельно соединённых пружин равна произведению жёсткости одной пружины на их количество: $k_{общ} = n \cdot k_0$.

Ответ:

По результатам исследования можно сделать вывод, что жёсткость системы одинаковых пружин, соединённых параллельно, прямо пропорциональна количеству пружин. Это подтверждается расчётами: жёсткость системы из $\text{n}$ пружин ($k_n$) оказалась в $\text{n}$ раз больше жёсткости одной пружины ($k_1$). Общая жёсткость системы при параллельном соединении пружин равна сумме жёсткостей отдельных пружин. Так как все пружины одинаковы, их жёсткость $k_0$ одинакова, и общая жёсткость равна $k_{общ} = n \cdot k_0$.