Номер 278, страница 40 - гдз по физике 7 класс сборник вопросов и задач Марон, Марон

Взаимодействие тел. Сила упругости. Закон Гука - номер 278, страница 40.

Условие.

278. На занятиях кружка по физике Павел решил изучить, как зависит жёсткость лёгкой пружины от количества её витков. Для этого он подвесил к вертикальной пружине груз массой 100 г, а затем, уменьшая число витков пружины, снова подвешивал груз. В таблице представлены значения удлинения пружины при разном количестве её витков.

Количество витков пружины	Удлинение пружины, см
12	4
24	8
36	12
48	16
60	20

Какой можно сделать вывод о зависимости жёсткости пружины от количества её витков по результатам исследования?

Решение.

Дано:

Масса груза, $m = 100$ г
Данные эксперимента представлены в таблице.

Перевод в систему СИ:
Масса: $m = 100 \text{ г} = 0.1 \text{ кг}$
Удлинение пружины:
$Δl_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$
$Δl_2 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$
$Δl_3 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$
$Δl_4 = 16 \text{ см} = 0.16 \text{ м}$
$Δl_5 = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$
Примем ускорение свободного падения $g \approx 10 \text{ Н/кг}$.

Найти:

Зависимость жёсткости пружины $\text{k}$ от количества её витков $\text{N}$.

Решение:

Когда груз подвешен к пружине и находится в равновесии, сила упругости $F_{упр}$, возникающая в пружине, уравновешивает силу тяжести $F_{тяж}$, действующую на груз.

$F_{упр} = F_{тяж}$

Сила упругости определяется законом Гука: $F_{упр} = k \cdot Δl$, где $\text{k}$ — жёсткость пружины, а $Δl$ — её удлинение. Сила тяжести равна $F_{тяж} = m \cdot g$.

Следовательно, $k \cdot Δl = m \cdot g$.

Отсюда можем выразить жёсткость пружины: $k = \frac{m \cdot g}{Δl}$.

Поскольку масса груза во всех опытах была одинакова, сила, растягивающая пружину, была постоянной и равнялась:
$F_{тяж} = 0.1 \text{ кг} \cdot 10 \text{ Н/кг} = 1 \text{ Н}$.

Теперь вычислим жёсткость пружины для каждого случая, используя данные из таблицы.

1. Для $N_1 = 12$ витков, $Δl_1 = 0.04$ м:
$k_1 = \frac{1 \text{ Н}}{0.04 \text{ м}} = 25 \text{ Н/м}$

2. Для $N_2 = 24$ витков, $Δl_2 = 0.08$ м:
$k_2 = \frac{1 \text{ Н}}{0.08 \text{ м}} = 12.5 \text{ Н/м}$

3. Для $N_3 = 36$ витков, $Δl_3 = 0.12$ м:
$k_3 = \frac{1 \text{ Н}}{0.12 \text{ м}} \approx 8.33 \text{ Н/м}$

4. Для $N_4 = 48$ витков, $Δl_4 = 0.16$ м:
$k_4 = \frac{1 \text{ Н}}{0.16 \text{ м}} = 6.25 \text{ Н/м}$

5. Для $N_5 = 60$ витков, $Δl_5 = 0.20$ м:
$k_5 = \frac{1 \text{ Н}}{0.20 \text{ м}} = 5 \text{ Н/м}$

Теперь проанализируем, как жёсткость $\text{k}$ зависит от количества витков $\text{N}$.

При увеличении числа витков с 12 до 24 (в 2 раза), жёсткость уменьшилась с 25 Н/м до 12.5 Н/м (в 2 раза).
При увеличении числа витков с 12 до 60 (в 5 раз), жёсткость уменьшилась с 25 Н/м до 5 Н/м (в 5 раз).

Это говорит об обратной пропорциональной зависимости. Чтобы убедиться в этом, проверим, является ли произведение $k \cdot N$ постоянной величиной.

$k_1 \cdot N_1 = 25 \cdot 12 = 300$
$k_2 \cdot N_2 = 12.5 \cdot 24 = 300$
$k_3 \cdot N_3 \approx 8.33 \cdot 36 \approx 299.88 \approx 300$
$k_4 \cdot N_4 = 6.25 \cdot 48 = 300$
$k_5 \cdot N_5 = 5 \cdot 60 = 300$

Произведение $k \cdot N$ остаётся постоянным во всех опытах. Таким образом, жёсткость пружины обратно пропорциональна количеству её витков ($k \propto \frac{1}{N}$).

Ответ: По результатам исследования можно сделать вывод, что жёсткость пружины обратно пропорциональна количеству её витков. Это означает, что при увеличении числа витков пружины её жёсткость уменьшается во столько же раз, и наоборот, при уменьшении числа витков жёсткость пружины увеличивается.