Номер 319, страница 40 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 319, страница 40.

Условие.

319. В жидкости плавает шар объемом $400 \text{ см}^3$, погрузившись в жидкость на $\frac{3}{8}$ своего объема. Плотность жидкости в 2 раза больше плотности материала шара. Каков объем полости внутри шара?

Решение.

Дано:

Общий объем шара, $V = 400 \text{ см}^3 = 400 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 4 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$.

Погруженная часть объема, $V_{погр} = \frac{3}{8}V$.

Соотношение плотностей, $ρ_{ж} = 2 \cdot ρ_{м}$ (где $ρ_{ж}$ - плотность жидкости, $ρ_{м}$ - плотность материала шара).

Найти:

Объем полости, $V_{п}$ - ?

Решение:

Поскольку шар плавает в жидкости, это означает, что действующая на него сила тяжести уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда). Запишем условие плавания тел:

$F_{т} = F_{А}$

Сила тяжести $F_{т}$ определяется массой шара $m_{ш}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$: $F_{т} = m_{ш}g$.

Масса шара $m_{ш}$ — это произведение плотности материала $ρ_{м}$ на объем этого материала $V_{м}$. Так как шар имеет полость, объем материала равен разности общего объема шара $\text{V}$ и объема полости $V_{п}$:

$V_{м} = V - V_{п}$

Следовательно, масса шара:

$m_{ш} = ρ_{м}(V - V_{п})$

Тогда сила тяжести: $F_{т} = ρ_{м}(V - V_{п})g$.

Сила Архимеда $F_{А}$ равна весу вытесненной жидкости. Она рассчитывается как произведение плотности жидкости $ρ_{ж}$ на ускорение свободного падения $\text{g}$ и на объем погруженной части тела $V_{погр}$:

$F_{А} = ρ_{ж}gV_{погр}$

Теперь приравняем выражения для силы тяжести и силы Архимеда:

$ρ_{м}(V - V_{п})g = ρ_{ж}gV_{погр}$

Можно сократить ускорение свободного падения $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$ρ_{м}(V - V_{п}) = ρ_{ж}V_{погр}$

Подставим в это уравнение известные из условия задачи соотношения: $V_{погр} = \frac{3}{8}V$ и $ρ_{ж} = 2ρ_{м}$.

$ρ_{м}(V - V_{п}) = (2ρ_{м}) \cdot (\frac{3}{8}V)$

Плотность материала шара $ρ_{м}$ не равна нулю, поэтому мы можем сократить ее в обеих частях уравнения:

$V - V_{п} = 2 \cdot \frac{3}{8}V$

$V - V_{п} = \frac{6}{8}V = \frac{3}{4}V$

Из этого уравнения выразим искомый объем полости $V_{п}$:

$V_{п} = V - \frac{3}{4}V$

$V_{п} = \frac{1}{4}V$

Теперь подставим числовое значение общего объема шара $V = 400 \text{ см}^3$ и вычислим объем полости:

$V_{п} = \frac{1}{4} \cdot 400 \text{ см}^3 = 100 \text{ см}^3$.

Ответ: объем полости внутри шара равен $100 \text{ см}^3$.