Номер 323, страница 40 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 323, страница 40.

Условие.

323. Вес тела в воде в 4 раза меньше, чем в воздухе. Чему равна плотность тела?

Решение.

Дано:

$P_{воздух} = 4 \cdot P_{вода}$

$\rho_{воды} = 1000 \, \text{кг/м}^3$

Найти:

$\rho_{тела} - ?$

Решение:

Вес тела в воздухе $P_{воздух}$ практически равен силе тяжести $F_g$, действующей на тело (пренебрегая выталкивающей силой воздуха):

$P_{воздух} = F_g = m \cdot g$

Массу тела $\text{m}$ выразим через его плотность $\rho_{тела}$ и объем $\text{V}$:

$m = \rho_{тела} \cdot V$

Следовательно, вес тела в воздухе:

$P_{воздух} = \rho_{тела} \cdot V \cdot g$

При погружении в воду на тело действует выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$. Вес тела в воде $P_{вода}$ определяется как разность силы тяжести и силы Архимеда:

$P_{вода} = F_g - F_A$

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости (воды):

$F_A = \rho_{воды} \cdot V \cdot g$

Подставив выражения для $F_g$ и $F_A$, получим вес тела в воде:

$P_{вода} = \rho_{тела} \cdot V \cdot g - \rho_{воды} \cdot V \cdot g = (\rho_{тела} - \rho_{воды}) \cdot V \cdot g$

Из условия задачи известно, что вес тела в воздухе в 4 раза больше веса в воде:

$P_{воздух} = 4 \cdot P_{вода}$

Подставим в это соотношение выражения для весов:

$\rho_{тела} \cdot V \cdot g = 4 \cdot (\rho_{тела} - \rho_{воды}) \cdot V \cdot g$

Мы можем сократить обе части уравнения на $V \cdot g$, так как объем тела и ускорение свободного падения не равны нулю:

$\rho_{тела} = 4 \cdot (\rho_{тела} - \rho_{воды})$

Раскроем скобки в правой части уравнения:

$\rho_{тела} = 4 \cdot \rho_{тела} - 4 \cdot \rho_{воды}$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\rho_{тела}$:

$4 \cdot \rho_{воды} = 4 \cdot \rho_{тела} - \rho_{тела}$

$4 \cdot \rho_{воды} = 3 \cdot \rho_{тела}$

Теперь выразим искомую плотность тела $\rho_{тела}$:

$\rho_{тела} = \frac{4}{3} \cdot \rho_{воды}$

Подставим значение плотности воды $\rho_{воды} = 1000 \, \text{кг/м}^3$ и произведем расчет:

$\rho_{тела} = \frac{4}{3} \cdot 1000 \, \text{кг/м}^3 \approx 1333.3 \, \text{кг/м}^3$

Ответ: плотность тела равна примерно $1333.3 \, \text{кг/м}^3$.