Номер 320, страница 40 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 320, страница 40.

Условие.

320. Полый железный шар плавает в воде, полностью в нее погрузившись. Чему равна масса шара, если объем полости $20\text{ см}^3$?

Решение.

Дано:

$V_{полости} = 20 \text{ см}^3$

Шар плавает в воде, полностью погрузившись.

Плотность воды: $ρ_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность железа: $ρ_{ж} = 7800 \text{ кг/м}^3$

$V_{полости} = 20 \text{ см}^3 = 20 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 20 \cdot 10^{-6} \text{ м}^3 = 2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3$

Найти:

$m_{ш}$ - ?

Решение:

По условию задачи, полый железный шар плавает в воде, полностью в нее погрузившись. Это означает, что он находится в состоянии равновесия. Условие плавания тела, полностью погруженного в жидкость, заключается в том, что действующая на него сила тяжести $F_т$ уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда) $F_А$.

$F_т = F_А$

Сила тяжести определяется массой шара $m_{ш}$ и ускорением свободного падения $\text{g}$:

$F_т = m_{ш} \cdot g$

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости. Так как шар погружен полностью, объем вытесненной воды $V_{в}$ равен полному внешнему объему шара $V_{ш}$.

$F_А = ρ_{в} \cdot g \cdot V_{ш}$

Приравнивая силы, получаем:

$m_{ш} \cdot g = ρ_{в} \cdot g \cdot V_{ш}$

Сократив $\text{g}$, получим выражение для массы шара:

$m_{ш} = ρ_{в} \cdot V_{ш}$

Полный объем шара $V_{ш}$ складывается из объема железа $V_{ж}$ и объема внутренней полости $V_{полости}$.

$V_{ш} = V_{ж} + V_{полости}$

Масса шара $m_{ш}$ — это масса железа, из которого он сделан. Ее можно выразить через плотность железа $ρ_{ж}$ и объем железа $V_{ж}$:

$m_{ш} = ρ_{ж} \cdot V_{ж}$, откуда $V_{ж} = \frac{m_{ш}}{ρ_{ж}}$

Подставим выражения для $V_{ш}$ и $V_{ж}$ в формулу для массы шара:

$m_{ш} = ρ_{в} \cdot (V_{ж} + V_{полости})$

$m_{ш} = ρ_{в} \cdot (\frac{m_{ш}}{ρ_{ж}} + V_{полости})$

Теперь решим это уравнение относительно $m_{ш}$:

$m_{ш} = \frac{ρ_{в} \cdot m_{ш}}{ρ_{ж}} + ρ_{в} \cdot V_{полости}$

$m_{ш} - \frac{ρ_{в} \cdot m_{ш}}{ρ_{ж}} = ρ_{в} \cdot V_{полости}$

$m_{ш} \cdot (1 - \frac{ρ_{в}}{ρ_{ж}}) = ρ_{в} \cdot V_{полости}$

$m_{ш} \cdot (\frac{ρ_{ж} - ρ_{в}}{ρ_{ж}}) = ρ_{в} \cdot V_{полости}$

Отсюда находим итоговую формулу для массы шара:

$m_{ш} = \frac{ρ_{в} \cdot V_{полости} \cdot ρ_{ж}}{ρ_{ж} - ρ_{в}}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$m_{ш} = \frac{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 2 \cdot 10^{-5} \text{ м}^3 \cdot 7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}}{7800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{1000 \cdot 2 \cdot 10^{-5} \cdot 7800}{6800} \text{ кг}$

$m_{ш} = \frac{156}{6800} \text{ кг} \approx 0.02294 \text{ кг}$

Переведем массу в граммы:

$0.02294 \text{ кг} \approx 22.94 \text{ г}$

Округляя до целых, получаем 23 г.

Ответ: масса шара равна примерно 23 г.