Номер 327, страница 40 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 327, страница 40.

Условие.

327. В цилиндрический сосуд с водой опустили железную коробку, плавающую на поверхности. Уровень воды в сосуде в результате этого поднялся на 2 см. На сколько опустится уровень воды, если коробка утонет?

Решение.

Дано:

$h_1 = 2$ см

$\rho_{воды} = 1000$ кг/м³

$\rho_{железа} = 7800$ кг/м³

В системе СИ:

$h_1 = 0.02$ м

Найти:

$\Delta h$ - на сколько опустится уровень воды.

Решение:

Пусть $\text{S}$ — площадь дна цилиндрического сосуда, а $\text{m}$ — масса железной коробки.

В первом случае, когда коробка плавает на поверхности, на нее действует сила тяжести $F_g = m \cdot g$ и выталкивающая сила Архимеда $F_{A1}$. По условию плавания тел, эти силы уравновешены:

$F_g = F_{A1}$

Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости: $F_{A1} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_1$, где $V_1$ — объем погруженной части коробки. Этот объем вызвал подъем уровня воды на $h_1$, следовательно, $V_1 = S \cdot h_1$.

Тогда $m \cdot g = \rho_{воды} \cdot g \cdot S \cdot h_1$, откуда масса коробки:

$m = \rho_{воды} \cdot S \cdot h_1$

Во втором случае, когда коробка утонет, она будет полностью находиться под водой. Объем вытесненной воды $V_2$ теперь будет равен объему железа, из которого сделана коробка. Этот объем можно найти, зная массу коробки и плотность железа:

$V_2 = V_{железа} = \frac{m}{\rho_{железа}}$

Этот вытесненный объем поднимет уровень воды на высоту $h_2$ относительно первоначального уровня: $V_2 = S \cdot h_2$.

Таким образом, $S \cdot h_2 = \frac{m}{\rho_{железа}}$.

Теперь мы можем найти связь между $h_1$ и $h_2$, подставив выражение для массы $\text{m}$ из первого случая во второй:

$S \cdot h_2 = \frac{(\rho_{воды} \cdot S \cdot h_1)}{\rho_{железа}}$

Сократив площадь $\text{S}$, получим:

$h_2 = h_1 \cdot \frac{\rho_{воды}}{\rho_{железа}}$

Изначально уровень воды поднялся на $h_1$. После того как коробка утонула, он оказался на уровне $h_2$. Понижение уровня воды $\Delta h$ равно разности этих высот:

$\Delta h = h_1 - h_2 = h_1 - h_1 \cdot \frac{\rho_{воды}}{\rho_{железа}} = h_1 \left(1 - \frac{\rho_{воды}}{\rho_{железа}}\right)$

Подставим числовые значения, используя табличные данные для плотностей:

$\Delta h = 2 \text{ см} \cdot \left(1 - \frac{1000 \text{ кг/м³}}{7800 \text{ кг/м³}}\right) = 2 \cdot \left(1 - \frac{10}{78}\right) = 2 \cdot \frac{78-10}{78} = 2 \cdot \frac{68}{78} = \frac{136}{78} \approx 1.7436$ см.

Округлив результат до сотых, получаем, что уровень воды опустится на 1.74 см.

Ответ: уровень воды опустится на 1.74 см.