Номер 331, страница 41 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 331, страница 41.

Условие.

331. Какой массы алюминиевый груз следует привязать к деревянному бруску массой 680 г, чтобы, будучи погруженными в воду, они оставались в воде во взвешенном состоянии?

Решение.

Дано:

$m_д = 680$ г (масса деревянного бруска)

$\rho_в = 1000 \frac{кг}{м^3}$ (плотность воды)

$\rho_а = 2700 \frac{кг}{м^3}$ (плотность алюминия)

$\rho_д = 700 \frac{кг}{м^3}$ (плотность дерева, для расчетов примем плотность сухого дуба)

Перевод в систему СИ:

$m_д = 680 \text{ г} = 0.68 \text{ кг}$

Найти:

$m_а$ - ? (масса алюминиевого груза)

Решение:

Для того чтобы система, состоящая из деревянного бруска и алюминиевого груза, находилась в воде во взвешенном состоянии, необходимо, чтобы суммарная сила тяжести, действующая на систему, была равна суммарной выталкивающей силе (силе Архимеда), действующей на полностью погруженную в воду систему. Условие равновесия выглядит так:

$F_{тяж} = F_A$

Суммарная сила тяжести равна сумме сил тяжести бруска и груза:

$F_{тяж} = (m_д + m_а)g$

Суммарная выталкивающая сила равна сумме выталкивающих сил, действующих на брусок и груз:

$F_A = F_{А,д} + F_{А,а} = (\rho_в V_д + \rho_в V_а)g = \rho_в(V_д + V_а)g$

где $V_д$ и $V_а$ - объемы бруска и груза соответственно.

Приравняем силы тяжести и Архимеда:

$(m_д + m_а)g = \rho_в(V_д + V_а)g$

Сократим $\text{g}$:

$m_д + m_а = \rho_в(V_д + V_а)$

Объемы бруска и груза можно выразить через их массы и плотности:

$V_д = \frac{m_д}{\rho_д}$

$V_а = \frac{m_а}{\rho_а}$

Подставим эти выражения в уравнение равновесия:

$m_д + m_а = \rho_в(\frac{m_д}{\rho_д} + \frac{m_а}{\rho_а})$

Раскроем скобки и сгруппируем слагаемые с искомой массой $m_а$ в левой части уравнения, а остальные - в правой:

$m_а - \rho_в \frac{m_а}{\rho_а} = \rho_в \frac{m_д}{\rho_д} - m_д$

Вынесем общие множители за скобки:

$m_а (1 - \frac{\rho_в}{\rho_а}) = m_д (\frac{\rho_в}{\rho_д} - 1)$

Отсюда выразим массу алюминиевого груза $m_а$:

$m_а = m_д \frac{\frac{\rho_в}{\rho_д} - 1}{1 - \frac{\rho_в}{\rho_а}}$

Подставим числовые значения в полученную формулу:

$m_а = 0.68 \cdot \frac{\frac{1000}{700} - 1}{1 - \frac{1000}{2700}} = 0.68 \cdot \frac{\frac{10}{7} - 1}{1 - \frac{10}{27}} = 0.68 \cdot \frac{\frac{3}{7}}{\frac{17}{27}}$

$m_а = 0.68 \cdot \frac{3}{7} \cdot \frac{27}{17} = \frac{0.68 \cdot 3 \cdot 27}{7 \cdot 17}$

Так как $0.68 / 17 = 0.04$, получаем:

$m_а = \frac{0.04 \cdot 3 \cdot 27}{7} = \frac{0.12 \cdot 27}{7} = \frac{3.24}{7} \approx 0.463 \text{ кг}$

Переведем массу в граммы: $0.463 \text{ кг} = 463 \text{ г}$.

Ответ: масса алюминиевого груза должна быть примерно 463 г.