Номер 337, страница 41 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 337, страница 41.

Условие.

337. Динамометр показывает, что шарик, повешенный к нему на легкой нити, весит в воздухе 1,84 Н. Когда шарик наполовину погрузили в воду, то динамометр показал вес 1,34 Н. Какова плотность материала шарика?

Решение.

Дано:

Вес шарика в воздухе $P_1 = 1,84 \text{ Н}$

Вес шарика, наполовину погруженного в воду, $P_2 = 1,34 \text{ Н}$

Плотность воды $\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения $g \approx 9,8 \text{ Н/кг}$

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Плотность материала шарика $\rho_{ш}$ - ?

Решение:

Вес шарика в воздухе $P_1$ равен его силе тяжести $F_g$ (силой Архимеда, действующей на шарик в воздухе, пренебрегаем):

$P_1 = F_g = m_{ш} \cdot g$

Массу шарика $m_{ш}$ можно выразить через его плотность $\rho_{ш}$ и объем $V_{ш}$:

$m_{ш} = \rho_{ш} \cdot V_{ш}$

Следовательно, вес шарика в воздухе:

$P_1 = \rho_{ш} \cdot V_{ш} \cdot g$ (1)

Когда шарик наполовину погружен в воду, показания динамометра $P_2$ равны разности силы тяжести $F_g$ и выталкивающей силы (силы Архимеда) $F_A$. Сила тяжести $F_g$ равна весу в воздухе $P_1$.

Запишем условие равновесия для шарика в воде:

$P_2 + F_A = F_g = P_1$

Из этого уравнения можно найти выталкивающую силу, действующую на шарик:

$F_A = P_1 - P_2 = 1,84 \text{ Н} - 1,34 \text{ Н} = 0,5 \text{ Н}$

Сила Архимеда также определяется по формуле:

$F_A = \rho_{в} \cdot g \cdot V_{погр}$

где $\rho_{в}$ - плотность воды, а $V_{погр}$ - объем погруженной части тела. По условию задачи, шарик погружен в воду наполовину, поэтому $V_{погр} = \frac{1}{2} V_{ш}$.

Тогда выталкивающая сила равна:

$F_A = \rho_{в} \cdot g \cdot \frac{V_{ш}}{2}$

Из этого выражения можно найти полный объем шарика $V_{ш}$:

$V_{ш} = \frac{2 \cdot F_A}{\rho_{в} \cdot g}$ (2)

Теперь выразим искомую плотность шарика $\rho_{ш}$ из формулы (1):

$\rho_{ш} = \frac{P_1}{V_{ш} \cdot g}$

Подставим в эту формулу выражение для объема $V_{ш}$ из формулы (2):

$\rho_{ш} = \frac{P_1}{\frac{2 \cdot F_A}{\rho_{в} \cdot g} \cdot g} = \frac{P_1 \cdot \rho_{в}}{2 \cdot F_A}$

Так как $F_A = P_1 - P_2$, окончательная формула для расчета плотности шарика будет выглядеть так:

$\rho_{ш} = \frac{P_1 \cdot \rho_{в}}{2 \cdot (P_1 - P_2)}$

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

$\rho_{ш} = \frac{1,84 \text{ Н} \cdot 1000 \text{ кг/м}^3}{2 \cdot (1,84 \text{ Н} - 1,34 \text{ Н})} = \frac{1,84 \cdot 1000}{2 \cdot 0,5} = \frac{1840}{1} = 1840 \text{ кг/м}^3$

Ответ: плотность материала шарика равна $1840 \text{ кг/м}^3$.