Номер 341, страница 42 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 341, страница 42.

Условие.

341. Деревянный кубик плавает в воде так, что в воду погружено 90% его объема. Какая часть объема будет погружена в воду, если поверх воды налить слой керосина, полностью закрывающий кубик?

Решение.

Дано:

$V_{погр1} = 0.9 \cdot V$

Плотность воды $\rho_в = 1000 \text{ кг/м}^3$

Плотность керосина $\rho_к = 800 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Какая часть объема будет погружена в воду, $x = \frac{V_{погр.в}}{V}$

Решение:

Сначала определим плотность материала кубика ($\rho_{куб}$) из условия плавания в воде. Когда тело плавает, действующая на него сила тяжести уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда).

Условие плавания в воде:

$F_т = F_{А1}$

Сила тяжести кубика: $F_т = m_{куб}g = \rho_{куб}Vg$, где $\text{V}$ — полный объем кубика, $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Выталкивающая сила со стороны воды: $F_{А1} = \rho_в g V_{погр1}$, где $V_{погр1}$ — объем погруженной в воду части кубика.

Приравниваем силы:

$\rho_{куб}Vg = \rho_в g V_{погр1}$

По условию, $V_{погр1} = 0.9V$. Подставим это в уравнение:

$\rho_{куб}Vg = \rho_в g (0.9V)$

Сокращая $\text{V}$ и $\text{g}$, находим плотность кубика:

$\rho_{куб} = 0.9 \rho_в = 0.9 \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 = 900 \text{ кг/м}^3$

Теперь рассмотрим второй случай, когда поверх воды налит слой керосина, полностью покрывающий кубик. На кубик действует сила тяжести и две выталкивающие силы: со стороны воды ($F_{А.в}$) и со стороны керосина ($F_{А.к}$).

Условие равновесия в этом случае:

$F_т = F_{А.в} + F_{А.к}$

Пусть $V_{погр.в}$ — объем части кубика, погруженной в воду, а $V_{погр.к}$ — объем части, погруженной в керосин. Так как кубик покрыт полностью, то $V = V_{погр.в} + V_{погр.к}$, откуда $V_{погр.к} = V - V_{погр.в}$.

Расписываем силы:

$\rho_{куб}Vg = \rho_в g V_{погр.в} + \rho_к g V_{погр.к}$

Сократим $\text{g}$ и подставим выражение для $V_{погр.к}$:

$\rho_{куб}V = \rho_в V_{погр.в} + \rho_к (V - V_{погр.в})$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение, чтобы найти $V_{погр.в}$:

$\rho_{куб}V = \rho_в V_{погр.в} + \rho_к V - \rho_к V_{погр.в}$

$\rho_{куб}V - \rho_к V = (\rho_в - \rho_к)V_{погр.в}$

$(\rho_{куб} - \rho_к)V = (\rho_в - \rho_к)V_{погр.в}$

Нам нужно найти искомую часть объема, то есть отношение $\frac{V_{погр.в}}{V}$:

$\frac{V_{погр.в}}{V} = \frac{\rho_{куб} - \rho_к}{\rho_в - \rho_к}$

Подставим числовые значения плотностей:

$\frac{V_{погр.в}}{V} = \frac{900 - 800}{1000 - 800} = \frac{100}{200} = 0.5$

Таким образом, в воду будет погружена половина объема кубика.

Ответ: 0,5 (или 50%) объема кубика будет погружена в воду.