Номер 348, страница 43 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 348, страница 43.

Условие.

348. В вертикальном цилиндрическом сосуде радиусом 10 см находится жидкость. В ней плавает шар радиусом 5 см. Плотность материала шара в 2 раза меньше плотности жидкости. На сколько сантиметров понизится уровень жидкости в сосуде, если шар из нее удалить? (Объем шара $-$ $\frac{4}{3}\pi R^3$, площадь круга $-$ $\pi R^2$.)

Решение.

Дано:

$R_с = 10 \text{ см}$

$R_ш = 5 \text{ см}$

$\rho_ж = 2\rho_ш$

$R_с = 10 \text{ см} = 0.1 \text{ м}$

$R_ш = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

$\Delta h - ?$

Решение:

Когда шар плавает в жидкости, сила тяжести $F_т$, действующая на шар, уравновешивается выталкивающей силой Архимеда $F_А$.

$F_т = F_А$

Сила тяжести равна $F_т = m_ш g = \rho_ш V_ш g$, где $\rho_ш$ - плотность материала шара, $V_ш$ - его объем, $\text{g}$ - ускорение свободного падения.

Сила Архимеда равна $F_А = \rho_ж g V_{погр}$, где $\rho_ж$ - плотность жидкости, $V_{погр}$ - объем погруженной в жидкость части шара.

Приравнивая силы, получаем:

$\rho_ш V_ш g = \rho_ж g V_{погр}$

Отсюда можно выразить объем погруженной части шара:

$V_{погр} = V_ш \frac{\rho_ш}{\rho_ж}$

По условию, плотность материала шара в 2 раза меньше плотности жидкости, то есть $\rho_ш = \frac{1}{2}\rho_ж$. Подставим это соотношение:

$V_{погр} = V_ш \frac{\frac{1}{2}\rho_ж}{\rho_ж} = \frac{1}{2}V_ш$

Найдем полный объем шара по формуле $V_ш = \frac{4}{3}\pi R_ш^3$:

$V_ш = \frac{4}{3}\pi (5 \text{ см})^3 = \frac{4}{3}\pi \cdot 125 \text{ см}^3 = \frac{500}{3}\pi \text{ см}^3$

Тогда объем погруженной части шара равен:

$V_{погр} = \frac{1}{2} \cdot \frac{500}{3}\pi \text{ см}^3 = \frac{250}{3}\pi \text{ см}^3$

Когда шар удаляют из сосуда, уровень жидкости понижается. Объем, который занимала погруженная часть шара ($V_{погр}$), теперь будет заполнен жидкостью, что приведет к понижению ее уровня на $\Delta h$. Этот объем связан с понижением уровня через площадь поперечного сечения сосуда $S_с$:

$V_{погр} = S_с \cdot \Delta h$

Отсюда изменение уровня жидкости:

$\Delta h = \frac{V_{погр}}{S_с}$

Площадь поперечного сечения цилиндрического сосуда (площадь круга) равна $S_с = \pi R_с^2$:

$S_с = \pi (10 \text{ см})^2 = 100\pi \text{ см}^2$

Подставим значения и вычислим $\Delta h$:

$\Delta h = \frac{\frac{250}{3}\pi \text{ см}^3}{100\pi \text{ см}^2} = \frac{250\pi}{3 \cdot 100\pi} \text{ см} = \frac{250}{300} \text{ см} = \frac{5}{6} \text{ см}$

Ответ: уровень жидкости в сосуде понизится на $\frac{5}{6}$ см.