Номер 346, страница 42 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 346, страница 42.

Условие.

346. В цилиндрическом сосуде с водой (стенки сосуда вертикальные) плавает деревянная дощечка. Если на нее сверху положить стеклянную пластинку, то дощечка с пластинкой останется на плаву и уровень воды в сосуде увеличится на 2 см. На сколько увеличится уровень воды в сосуде с плавающей дощечкой, если ту же стеклянную пластинку бросить на дно сосуда?

Решение.

Дано:

Увеличение уровня воды, когда пластинка лежит на дощечке, $ \Delta h_1 = 2 $ см.

$ \Delta h_1 = 0.02 $ м

Найти:

$ \Delta h_2 $ — увеличение уровня воды, когда пластинка лежит на дне сосуда.

Решение:

Обозначим $ S $ — площадь поперечного сечения цилиндрического сосуда, $ m_с $ — массу стеклянной пластинки, $ V_с $ — её объём, $ \rho_в $ — плотность воды, $ \rho_с $ — плотность стекла. Для решения задачи используем табличные значения плотностей: $ \rho_в = 1000 $ кг/м³ (вода), $ \rho_с \approx 2500 $ кг/м³ (стекло).

В первом случае, когда стеклянную пластинку кладут на плавающую дощечку, система "дощечка + пластинка" продолжает плавать. По закону Архимеда для плавающих тел, вес добавленной пластинки ($ P_с = m_с g $) уравновешивается дополнительной выталкивающей силой ($ \Delta F_A $), которая возникает из-за увеличения объёма погруженной части дощечки ($ \Delta V_1 $).

$ m_с g = \Delta F_A = \rho_в g \Delta V_1 $

Отсюда следует, что масса пластинки равна массе дополнительно вытесненной воды: $ m_с = \rho_в \Delta V_1 $. Увеличение объёма вытесненной воды $ \Delta V_1 $ связано с подъёмом уровня воды $ \Delta h_1 $ соотношением $ \Delta V_1 = S \cdot \Delta h_1 $. Таким образом, массу пластинки можно выразить как:

$ m_с = \rho_в S \Delta h_1 $ (1)

Во втором случае, когда стеклянную пластинку бросают на дно, она полностью погружается в воду. Повышение уровня воды $ \Delta h_2 $ (по сравнению с исходным уровнем, когда в воде плавала только дощечка) происходит из-за объёма самой пластинки. Объём вытесненной воды в этом случае равен объёму пластинки $ V_с $.

$ \Delta V_2 = V_с = S \cdot \Delta h_2 $ (2)

Масса, объём и плотность пластинки связаны соотношением $ m_с = \rho_с V_с $. Подставим в это соотношение выражения для $ m_с $ и $ V_с $ из формул (1) и (2):

$ \rho_в S \Delta h_1 = \rho_с (S \Delta h_2) $

Площадь $ S $ сокращается, и мы получаем: $ \rho_в \Delta h_1 = \rho_с \Delta h_2 $. Выразим искомую величину $ \Delta h_2 $:

$ \Delta h_2 = \Delta h_1 \frac{\rho_в}{\rho_с} $

Подставим числовые значения:

$ \Delta h_2 = 2 \text{ см} \cdot \frac{1000 \text{ кг/м³}}{2500 \text{ кг/м³}} = 2 \text{ см} \cdot \frac{10}{25} = 2 \text{ см} \cdot 0.4 = 0.8 \text{ см} $

Ответ: уровень воды увеличится на 0.8 см.