Номер 347, страница 42 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 347, страница 42.

Условие.

347. Сплошной однородный деревянный кубик с длиной ребра 5 см плавает в банке с чистой водой. Длина части вертикального ребра над поверхностью воды равна 23 мм. Этот же кубик опустили в раствор поваренной соли в воде, при этом длина части вертикального ребра над поверхностью жидкости равна 25 мм. Объем раствора равен 1 л. Найдите массу поваренной соли в растворе. Объем раствора считать равным объему чистой воды.

Решение.

Дано:

$a = 5$ см = $0.05$ м

$h_{над1} = 23$ мм = $0.023$ м

$h_{над2} = 25$ мм = $0.025$ м

$V_{р-ра} = 1$ л = $1 \cdot 10^{-3}$ м³

$\rho_{воды} = 1000$ кг/м³

Найти:

$m_{соли}$ - ?

Решение:

Когда кубик плавает, действующая на него сила тяжести $F_g$ уравновешивается выталкивающей силой Архимеда $F_A$. Масса кубика $m_k$ постоянна в обоих случаях.

1. В чистой воде:

Условие плавания: $F_g = F_{A1}$

$m_k g = \rho_{воды} g V_{погр1}$

где $V_{погр1}$ - объем погруженной части кубика в воде. Глубина погружения равна $h_{погр1} = a - h_{над1}$. Тогда объем погруженной части $V_{погр1} = a^2 h_{погр1} = a^2 (a - h_{над1})$.

Отсюда можно выразить массу кубика:

$m_k = \rho_{воды} a^2 (a - h_{над1})$

2. В растворе поваренной соли:

Условие плавания: $F_g = F_{A2}$

$m_k g = \rho_{р-ра} g V_{погр2}$

где $\rho_{р-ра}$ - плотность раствора, а $V_{погр2}$ - объем погруженной части кубика в растворе. Глубина погружения $h_{погр2} = a - h_{над2}$. Тогда объем погруженной части $V_{погр2} = a^2 h_{погр2} = a^2 (a - h_{над2})$.

Масса кубика также равна:

$m_k = \rho_{р-ра} a^2 (a - h_{над2})$

Поскольку масса кубика одна и та же, приравняем правые части выражений для массы:

$\rho_{воды} a^2 (a - h_{над1}) = \rho_{р-ра} a^2 (a - h_{над2})$

Сократив на $a^2$, выразим плотность раствора $\rho_{р-ра}$:

$\rho_{р-ра} = \rho_{воды} \frac{a - h_{над1}}{a - h_{над2}}$

Плотность раствора также можно выразить через массу соли $m_{соли}$ и массу воды $m_{воды}$, из которой он приготовлен. По условию, объем раствора равен объему чистой воды, то есть $V_{р-ра} = V_{воды}$.

Масса раствора $m_{р-ра} = m_{воды} + m_{соли}$. Масса воды $m_{воды} = \rho_{воды} V_{воды} = \rho_{воды} V_{р-ра}$.

Тогда плотность раствора:

$\rho_{р-ра} = \frac{m_{р-ра}}{V_{р-ра}} = \frac{m_{воды} + m_{соли}}{V_{р-ра}} = \frac{\rho_{воды} V_{р-ра} + m_{соли}}{V_{р-ра}} = \rho_{воды} + \frac{m_{соли}}{V_{р-ра}}$

Из этого выражения найдем массу соли:

$m_{соли} = (\rho_{р-ра} - \rho_{воды}) V_{р-ра}$

Подставим ранее найденное выражение для $\rho_{р-ра}$:

$m_{соли} = \left( \rho_{воды} \frac{a - h_{над1}}{a - h_{над2}} - \rho_{воды} \right) V_{р-ра} = \rho_{воды} \left( \frac{a - h_{над1}}{a - h_{над2}} - 1 \right) V_{р-ра}$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:

$m_{соли} = \rho_{воды} \left( \frac{a - h_{над1} - (a - h_{над2})}{a - h_{над2}} \right) V_{р-ра} = \rho_{воды} \frac{h_{над2} - h_{над1}}{a - h_{над2}} V_{р-ра}$

Подставим числовые значения в системе СИ:

$m_{соли} = 1000 \frac{0.025 - 0.023}{0.05 - 0.025} \cdot 10^{-3} = 1000 \frac{0.002}{0.025} \cdot 0.001 = 1 \cdot \frac{2}{25} = 0.08$ кг.

Переведем в граммы: $0.08$ кг = $80$ г.

Ответ: $80$ г.