Номер 345, страница 42 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 345, страница 42.

Условие.

345. Сколько человек весом 700 Н каждый может поднять воздушный шар объемом 800 м³, наполненный гелием, если оболочка и балласт весят 5 кН?

Решение.

Дано:

$P_{чел} = 700 \text{ Н}$ (вес одного человека)

$V = 800 \text{ м}^3$ (объем шара)

$P_{об} = 5 \text{ кН}$ (вес оболочки и балласта)

Шар наполнен гелием. Для расчетов используются справочные данные:

Плотность воздуха: $\rho_{воздуха} \approx 1,29 \text{ кг/м}^3$

Плотность гелия: $\rho_{гелия} \approx 0,18 \text{ кг/м}^3$

Ускорение свободного падения: $g \approx 9,8 \text{ м/с}^2$

Перевод в систему СИ:

$P_{об} = 5 \text{ кН} = 5 \cdot 10^3 \text{ Н} = 5000 \text{ Н}$

Найти:

$\text{N}$ — количество человек, которых может поднять шар.

Решение:

Для того чтобы воздушный шар мог подняться, действующая на него выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$ должна быть равна или больше суммарного веса шара с грузом $P_{общ}$. Чтобы найти максимальное число людей, которых может поднять шар, рассмотрим предельный случай, когда сила Архимеда равна общему весу:

$F_A = P_{общ}$

Выталкивающая сила равна весу воздуха в объеме шара:

$F_A = \rho_{воздуха} \cdot g \cdot V$

Общий вес $P_{общ}$ складывается из веса оболочки и балласта $P_{об}$, веса гелия внутри шара $P_{гелия}$ и веса людей $P_{людей}$:

$P_{общ} = P_{об} + P_{гелия} + P_{людей}$

Вес гелия рассчитывается по формуле:

$P_{гелия} = m_{гелия} \cdot g = \rho_{гелия} \cdot V \cdot g$

Вес всех людей равен произведению количества людей $\text{N}$ на вес одного человека $P_{чел}$:

$P_{людей} = N \cdot P_{чел}$

Подставим все выражения в исходное уравнение равновесия сил:

$\rho_{воздуха} \cdot g \cdot V = P_{об} + \rho_{гелия} \cdot g \cdot V + N \cdot P_{чел}$

Из этого уравнения выразим суммарный вес людей $P_{людей}$, который может поднять шар. Это полезная грузоподъемность.

$P_{людей} = F_A - P_{гелия} - P_{об}$

$P_{людей} = \rho_{воздуха} \cdot g \cdot V - \rho_{гелия} \cdot g \cdot V - P_{об}$

$P_{людей} = (\rho_{воздуха} - \rho_{гелия}) \cdot g \cdot V - P_{об}$

Теперь подставим числовые значения в формулу:

$P_{людей} = (1,29 \text{ кг/м}^3 - 0,18 \text{ кг/м}^3) \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 800 \text{ м}^3 - 5000 \text{ Н}$

$P_{людей} = 1,11 \text{ кг/м}^3 \cdot 9,8 \text{ м/с}^2 \cdot 800 \text{ м}^3 - 5000 \text{ Н}$

$P_{людей} = 8702,4 \text{ Н} - 5000 \text{ Н} = 3702,4 \text{ Н}$

Это максимальный вес, который шар может поднять в дополнение к своей конструкции. Чтобы найти количество человек, разделим этот вес на вес одного человека:

$N = \frac{P_{людей}}{P_{чел}} = \frac{3702,4 \text{ Н}}{700 \text{ Н}} \approx 5,289$

Так как количество человек должно быть целым числом, округляем полученное значение в меньшую сторону, поскольку 6-го человека шар поднять уже не сможет.

Ответ: Воздушный шар может поднять 5 человек.