Номер 340, страница 42 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 340, страница 42.

Условие.

340. Полый шар из алюминия, находясь в воде, растягивает пружину динамометра с силой 0,25 Н, в керосине – с силой 0,32 Н. Определите объем полости.

Решение.

Дано:

Показания динамометра в воде $T_в = 0,25$ Н
Показания динамометра в керосине $T_к = 0,32$ Н
Материал шара — алюминий.

Данные в системе СИ и справочные значения:
Все данные уже представлены в системе СИ.
Плотность воды $\rho_в = 1000$ кг/м³
Плотность керосина $\rho_к = 800$ кг/м³
Плотность алюминия $\rho_{ал} = 2700$ кг/м³
Ускорение свободного падения $g \approx 9,8$ Н/кг

Найти:

Объем полости $V_п$ — ?

Решение:

На полый шар, погруженный в жидкость, действуют три силы: сила тяжести $F_т$ (направлена вниз), выталкивающая сила Архимеда $F_А$ (направлена вверх) и сила натяжения пружины динамометра $\text{T}$ (также направлена вверх). Так как шар находится в равновесии, сумма сил равна нулю. Условие равновесия в проекции на вертикальную ось:

$F_т = F_А + T$

Запишем это уравнение для двух случаев: для воды и для керосина.
В воде: $F_т = F_{Ав} + T_в$ (1)
В керосине: $F_т = F_{Ак} + T_к$ (2)

Сила тяжести $F_т$ шара в обоих случаях одинакова. Выталкивающая сила (сила Архимеда) определяется формулой $F_А = \rho_{ж} g V$, где $\rho_{ж}$ — плотность жидкости, а $\text{V}$ — полный (внешний) объем шара. Полный объем $\text{V}$ складывается из объема алюминия $V_{ал}$ и объема внутренней полости $V_{п}$.

Так как левые части уравнений (1) и (2) равны ($F_т$), мы можем приравнять их правые части:
$F_{Ав} + T_в = F_{Ак} + T_к$
Подставим выражения для сил Архимеда:
$\rho_в g V + T_в = \rho_к g V + T_к$

Из этого соотношения выразим полный объем шара $\text{V}$:
$\rho_в g V - \rho_к g V = T_к - T_в$
$V g (\rho_в - \rho_к) = T_к - T_в$
$V = \frac{T_к - T_в}{g (\rho_в - \rho_к)}$

Подставим числовые значения и вычислим $\text{V}$:
$V = \frac{0,32 \, \text{Н} - 0,25 \, \text{Н}}{9,8 \, \text{Н/кг} \cdot (1000 \, \text{кг/м³} - 800 \, \text{кг/м³})} = \frac{0,07 \, \text{Н}}{9,8 \, \text{Н/кг} \cdot 200 \, \text{кг/м³}} = \frac{0,07}{1960} \, \text{м³} \approx 3,57 \cdot 10^{-5} \, \text{м³}$

Теперь, зная полный объем шара, мы можем найти его силу тяжести $F_т$ из любого из начальных уравнений. Возьмем уравнение (1):
$F_т = F_{Ав} + T_в = \rho_в g V + T_в$
$F_т = 1000 \, \text{кг/м³} \cdot 9,8 \, \text{Н/кг} \cdot \frac{0,07}{1960} \, \text{м³} + 0,25 \, \text{Н} = 0,35 \, \text{Н} + 0,25 \, \text{Н} = 0,6 \, \text{Н}$

Сила тяжести шара определяется только массой материала (алюминия), из которого он сделан: $F_т = m_{ал} g = \rho_{ал} V_{ал} g$. Отсюда можем найти объем алюминия $V_{ал}$:
$V_{ал} = \frac{F_т}{\rho_{ал} g} = \frac{0,6 \, \text{Н}}{2700 \, \text{кг/м³} \cdot 9,8 \, \text{Н/кг}} = \frac{0,6}{26460} \, \text{м³} \approx 2,27 \cdot 10^{-5} \, \text{м³}$

Объем полости $V_п$ — это разность между полным объемом шара $\text{V}$ и объемом алюминия $V_{ал}$:
$V_п = V - V_{ал} \approx 3,57 \cdot 10^{-5} \, \text{м³} - 2,27 \cdot 10^{-5} \, \text{м³} = 1,3 \cdot 10^{-5} \, \text{м³}$

Ответ: объем полости равен $1,3 \cdot 10^{-5} \, \text{м³}$ (что соответствует 13 см³).