Номер 343, страница 42 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 343, страница 42.

Условие.

343. Сплошной однородный шар, полностью погрузившись, плавает на границе двух несмешивающихся жидкостей. Плотность верхней жидкости $0,8 \text{ г}/\text{см}^3$, нижней – $1,2 \text{ г}/\text{см}^3$, материала шара – $1 \text{ г}/\text{см}^3$. Какая часть объема шара находится в нижней жидкости?

Решение.

Дано:

Плотность верхней жидкости, $\rho_1 = 0,8 \text{ г/см}^3$

Плотность нижней жидкости, $\rho_2 = 1,2 \text{ г/см}^3$

Плотность материала шара, $\rho_{ш} = 1 \text{ г/см}^3$

Перевод в систему СИ:

$\rho_1 = 0,8 \text{ г/см}^3 = 800 \text{ кг/м}^3$

$\rho_2 = 1,2 \text{ г/см}^3 = 1200 \text{ кг/м}^3$

$\rho_{ш} = 1 \text{ г/см}^3 = 1000 \text{ кг/м}^3$

Найти:

Какая часть объема шара находится в нижней жидкости, т.е. найти отношение $\frac{V_2}{V}$.

Решение:

Поскольку шар плавает, он находится в равновесии. Это означает, что сила тяжести, действующая на шар, уравновешена суммой выталкивающих сил (сил Архимеда), действующих на него со стороны двух жидкостей.

Условие равновесия шара:

$F_g = F_{A1} + F_{A2}$

где $F_g$ - сила тяжести, $F_{A1}$ - выталкивающая сила со стороны верхней жидкости, $F_{A2}$ - выталкивающая сила со стороны нижней жидкости.

Расшифруем каждую силу:

Сила тяжести: $F_g = m_{ш} g = \rho_{ш} V g$, где $\text{V}$ - полный объем шара.

Выталкивающая сила верхней жидкости: $F_{A1} = \rho_1 g V_1$, где $V_1$ - объем части шара, погруженной в верхнюю жидкость.

Выталкивающая сила нижней жидкости: $F_{A2} = \rho_2 g V_2$, где $V_2$ - объем части шара, погруженной в нижнюю жидкость.

Подставим эти выражения в условие равновесия:

$\rho_{ш} V g = \rho_1 g V_1 + \rho_2 g V_2$

Сократим на ускорение свободного падения $\text{g}$:

$\rho_{ш} V = \rho_1 V_1 + \rho_2 V_2$

Так как шар погружен полностью, его полный объем равен сумме объемов его частей в каждой жидкости:

$V = V_1 + V_2$

Отсюда выразим объем в верхней жидкости: $V_1 = V - V_2$.

Подставим это выражение в уравнение равновесия:

$\rho_{ш} V = \rho_1 (V - V_2) + \rho_2 V_2$

Раскроем скобки:

$\rho_{ш} V = \rho_1 V - \rho_1 V_2 + \rho_2 V_2$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $\text{V}$ и $V_2$:

$\rho_{ш} V - \rho_1 V = V_2 (\rho_2 - \rho_1)$

$V (\rho_{ш} - \rho_1) = V_2 (\rho_2 - \rho_1)$

Теперь выразим искомую долю объема $\frac{V_2}{V}$:

$\frac{V_2}{V} = \frac{\rho_{ш} - \rho_1}{\rho_2 - \rho_1}$

Подставим числовые значения. Так как мы ищем отношение, можно использовать значения плотности в г/см³:

$\frac{V_2}{V} = \frac{1 - 0,8}{1,2 - 0,8} = \frac{0,2}{0,4} = \frac{1}{2} = 0,5$

Таким образом, половина объема шара находится в нижней жидкости.

Ответ: 0,5 (или 1/2) часть объема шара находится в нижней жидкости.