Номер 342, страница 42 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 342, страница 42.

Условие.

342. Доска толщиной 5 см плавает в воде, погрузившись на 70%. Поверх воды наливают слой керосина толщиной в 1 см. На сколько будет выступать доска над поверхностью воды?

Решение.

Дано:

$H = 5$ см (толщина доски)

Доска погружена в воду на $70\%$

$h_к = 1$ см (толщина слоя керосина)

$\rho_в = 1000$ кг/м³ (плотность воды)

$\rho_к = 800$ кг/м³ (плотность керосина)

Перевод в систему СИ:

$H = 0.05$ м

$h_к = 0.01$ м

Найти:

$h_{выст}$ - высота части доски, выступающей над поверхностью воды после добавления керосина.

Решение:

1. Рассмотрим начальное состояние, когда доска плавает только в воде. Условие плавания тела гласит, что сила тяжести, действующая на доску, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда).

$F_т = F_{А1}$

Силу тяжести $F_т$ можно выразить через плотность доски $\rho_д$, её объём $V_д$ и ускорение свободного падения $\text{g}$: $F_т = m_д g = \rho_д V_д g$. Объём доски равен $V_д = S \cdot H$, где $\text{S}$ - площадь основания доски, а $\text{H}$ - её толщина.

Выталкивающая сила $F_{А1}$ равна весу вытесненной воды: $F_{А1} = \rho_в g V_{погр1}$, где $V_{погр1}$ - объём погружённой части доски. По условию, доска погружена на 70%, значит, высота погружённой части $h_1 = 0.7 H$, а объём $V_{погр1} = S \cdot h_1 = S \cdot 0.7 H$.

Приравняем силы:

$\rho_д (S \cdot H) g = \rho_в (S \cdot 0.7 H) g$

Сократив $\text{S}$, $\text{H}$ и $\text{g}$, найдём плотность доски:

$\rho_д = 0.7 \rho_в = 0.7 \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 = 700 \text{ кг/м}^3$

2. Теперь рассмотрим второе состояние, когда поверх воды налит слой керосина. Доска теперь будет плавать на границе двух жидкостей, частично погрузившись в воду и частично в керосин. Сила тяжести доски теперь уравновешивается суммой двух выталкивающих сил: со стороны воды ($F_{Ав}$) и со стороны керосина ($F_{Ак}$).

$F_т = F_{Ав} + F_{Ак}$

Пусть $h_в$ - высота части доски, погружённой в воду, а $h_{погр.к}$ - высота части доски, погружённой в керосин.

Тогда $F_{Ав} = \rho_в g (S \cdot h_в)$ и $F_{Ак} = \rho_к g (S \cdot h_{погр.к})$.

Подставим все выражения в условие равновесия:

$\rho_д S H g = \rho_в g S h_в + \rho_к g S h_{погр.к}$

Сократив $\text{g}$ и $\text{S}$, получим:

$\rho_д H = \rho_в h_в + \rho_к h_{погр.к}$

3. Поскольку доска будет выступать над поверхностью керосина (что мы проверим позже), высота её части, погружённой в керосин, будет равна толщине слоя керосина: $h_{погр.к} = h_к = 0.01$ м.

Подставим известные значения в уравнение и выразим $h_в$:

$700 \cdot 0.05 = 1000 \cdot h_в + 800 \cdot 0.01$

$35 = 1000 h_в + 8$

$1000 h_в = 35 - 8 = 27$

$h_в = \frac{27}{1000} = 0.027$ м, или $2.7$ см.

4. Проверим наше предположение, что доска выступает над поверхностью керосина. Общая высота погружённой части доски равна:

$h_{погр.общ} = h_в + h_{погр.к} = 2.7 \text{ см} + 1 \text{ см} = 3.7$ см.

Поскольку общая толщина доски $H = 5$ см, а $h_{погр.общ} = 3.7$ см, то $h_{погр.общ} < H$. Это означает, что доска действительно выступает над поверхностью керосина, и наше предположение было верным.

5. Вопрос задачи: "На сколько будет выступать доска над поверхностью воды?". После добавления керосина "поверхность воды" - это граница раздела воды и керосина. Высота части доски, выступающей над этой границей, равна разности общей толщины доски и высоты части, погружённой в воду.

$h_{выст} = H - h_в$

$h_{выст} = 5 \text{ см} - 2.7 \text{ см} = 2.3$ см.

Ответ: доска будет выступать над поверхностью воды на 2.3 см.