Номер 334, страница 41 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 334, страница 41.

Условие.

334. Однородный куб плавает в ртути, погрузившись на $\frac{1}{5}$ часть своего объема. Если на него поставить куб такого же размера, то первый куб погрузится на $\frac{1}{2}$ часть своего объема. Какова плотность материала второго куба?

Решение.

Дано:

Часть объема первого куба, погруженная в ртуть в первом случае, $k_1 = \frac{1}{5}$

Часть объема первого куба, погруженная в ртуть во втором случае, $k_2 = \frac{1}{2}$

Плотность ртути, $\rho_{рт} = 13600 \frac{кг}{м^3}$ (справочное значение)

Объем первого куба равен объему второго куба, $V_1 = V_2 = V$

Найти:

Плотность материала второго куба, $\rho_2$

Решение:

Рассмотрим первый случай, когда в ртути плавает только первый куб. Согласно условию плавания тел, сила тяжести, действующая на куб, уравновешивается выталкивающей силой Архимеда.

$F_{т1} = F_{А1}$

Сила тяжести первого куба определяется как $F_{т1} = m_1 g = \rho_1 V g$, где $\rho_1$ — плотность материала первого куба, $\text{V}$ — его объем, а $\text{g}$ — ускорение свободного падения.

Выталкивающая сила (сила Архимеда), действующая на куб, равна $F_{А1} = \rho_{рт} g V_{погр1}$, где $\rho_{рт}$ — плотность ртути, а $V_{погр1}$ — объем погруженной части куба.

Из условия задачи известно, что $V_{погр1} = \frac{1}{5}V$.

Приравняем силы:

$\rho_1 V g = \rho_{рт} g \left(\frac{1}{5}V\right)$

Сократив одинаковые множители $\text{V}$ и $\text{g}$ в обеих частях уравнения, найдем плотность материала первого куба:

$\rho_1 = \frac{1}{5}\rho_{рт}$

Теперь рассмотрим второй случай, когда на первом кубе находится второй куб того же размера. Система из двух кубов плавает в ртути. Условие плавания для системы имеет вид:

$F_{т.общ} = F_{А2}$

Общая сила тяжести двух кубов равна сумме их сил тяжести: $F_{т.общ} = (m_1 + m_2)g = (\rho_1 V + \rho_2 V)g$, где $\rho_2$ — искомая плотность материала второго куба.

Выталкивающая сила во втором случае определяется объемом погруженной части первого куба: $F_{А2} = \rho_{рт} g V_{погр2}$.

Из условия задачи, $V_{погр2} = \frac{1}{2}V$.

Запишем уравнение равновесия для второго случая:

$(\rho_1 V + \rho_2 V)g = \rho_{рт} g \left(\frac{1}{2}V\right)$

Снова сократим $\text{V}$ и $\text{g}$:

$\rho_1 + \rho_2 = \frac{1}{2}\rho_{рт}$

Мы получили систему из двух уравнений:

1) $\rho_1 = \frac{1}{5}\rho_{рт}$

2) $\rho_1 + \rho_2 = \frac{1}{2}\rho_{рт}$

Подставим выражение для $\rho_1$ из первого уравнения во второе:

$\frac{1}{5}\rho_{рт} + \rho_2 = \frac{1}{2}\rho_{рт}$

Выразим искомую плотность $\rho_2$:

$\rho_2 = \frac{1}{2}\rho_{рт} - \frac{1}{5}\rho_{рт}$

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\rho_2 = \left(\frac{5}{10} - \frac{2}{10}\right)\rho_{рт} = \frac{3}{10}\rho_{рт}$

Теперь подставим числовое значение плотности ртути $\rho_{рт} = 13600 \frac{кг}{м^3}$:

$\rho_2 = \frac{3}{10} \times 13600 \frac{кг}{м^3} = 3 \times 1360 \frac{кг}{м^3} = 4080 \frac{кг}{м^3}$

Ответ: плотность материала второго куба равна $4080 \frac{кг}{м^3}$.