Номер 330, страница 41 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 330, страница 41.

Условие.

330. При переходе корабля из соленой воды в пресную его осадка немного увеличилась. После того как из трюма корабля выгрузили 600 т груза, осадка приняла прежнее значение. Определите массу корабля с грузом, если плотность соленой воды на 5% больше плотности пресной.

Решение.

Дано:

$\Delta m = 600 \text{ т}$

$\rho_с = \rho_п + 0.05 \rho_п = 1.05 \rho_п$

Перевод в СИ:

$\Delta m = 600 \cdot 10^3 \text{ кг} = 6 \cdot 10^5 \text{ кг}$

Найти:

$\text{M}$ - масса корабля с грузом

Решение:

Обозначим массу корабля с грузом как $\text{M}$, массу выгруженного груза как $\Delta m$, плотность соленой воды как $\rho_с$, а плотность пресной воды как $\rho_п$. Объем подводной части корабля в соленой воде (первоначальная осадка) обозначим как $V_1$.

Согласно условию плавания тела, сила тяжести, действующая на корабль, уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда).

1. В соленой воде корабль с грузом имеет массу $\text{M}$. Сила тяжести $F_{g1} = M \cdot g$ уравновешивается силой Архимеда $F_{A1} = \rho_с \cdot g \cdot V_1$.

$M \cdot g = \rho_с \cdot g \cdot V_1$

Отсюда получаем первое уравнение: $M = \rho_с \cdot V_1$. (1)

2. После перехода в пресную воду и выгрузки груза $\Delta m$ масса корабля стала $M - \Delta m$. По условию, осадка вернулась к прежнему значению, то есть объем погруженной части снова стал $V_1$. Теперь сила тяжести $F_{g2} = (M - \Delta m) \cdot g$ уравновешивается силой Архимеда в пресной воде $F_{A2} = \rho_п \cdot g \cdot V_1$.

$(M - \Delta m) \cdot g = \rho_п \cdot g \cdot V_1$

Отсюда получаем второе уравнение: $M - \Delta m = \rho_п \cdot V_1$. (2)

Из условия задачи известно, что плотность соленой воды на 5% больше плотности пресной:

$\rho_с = \rho_п + 0.05 \rho_п = 1.05 \rho_п$. (3)

Теперь у нас есть система уравнений. Разделим почленно уравнение (1) на уравнение (2):

$\frac{M}{M - \Delta m} = \frac{\rho_с \cdot V_1}{\rho_п \cdot V_1}$

Сократим $V_1$ в правой части:

$\frac{M}{M - \Delta m} = \frac{\rho_с}{\rho_п}$

Подставим соотношение плотностей из уравнения (3):

$\frac{M}{M - \Delta m} = \frac{1.05 \rho_п}{\rho_п} = 1.05$

Теперь решим полученное уравнение относительно $\text{M}$:

$M = 1.05 \cdot (M - \Delta m)$

$M = 1.05 M - 1.05 \Delta m$

$1.05 M - M = 1.05 \Delta m$

$0.05 M = 1.05 \Delta m$

$M = \frac{1.05}{0.05} \Delta m = 21 \Delta m$

Подставим известное значение массы выгруженного груза $\Delta m = 600$ т:

$M = 21 \cdot 600 \text{ т} = 12600 \text{ т}$

Ответ: $12600 \text{ т}$.