Номер 332, страница 41 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Архимедова сила. Плавание судов. Воздухоплавание - номер 332, страница 41.

Условие.

332. Плоская льдина толщиной 40 см плавает в воде. Когда на нее поставили груз массой 80 кг, она погрузилась в воду до верхней кромки (полностью). Определите площадь льдины

Решение.

Дано:

$h = 40 \text{ см}$

$m_{груза} = 80 \text{ кг}$

$\rho_{воды} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность пресной воды)

$\rho_{льда} = 900 \text{ кг/м}^3$ (плотность льда)

Перевод в систему СИ:

$h = 40 \text{ см} = 0.4 \text{ м}$

Найти:

$\text{S}$ — ?

Решение:

Когда на льдину поставили груз, она полностью погрузилась в воду. В этом состоянии система «льдина + груз» находится в равновесии. Это означает, что суммарная сила тяжести, действующая на систему, уравновешена выталкивающей силой (силой Архимеда).

Условие равновесия можно записать в виде:

$F_A = P_{льда} + P_{груза}$

где $F_A$ — сила Архимеда, $P_{льда}$ — сила тяжести льдины, $P_{груза}$ — сила тяжести груза.

Сила тяжести льдины и груза вычисляются по формулам:

$P_{льда} = m_{льда} \cdot g = \rho_{льда} \cdot V_{льда} \cdot g$

$P_{груза} = m_{груза} \cdot g$

Объем льдины $V_{льда}$ можно выразить через ее площадь $\text{S}$ и толщину $\text{h}$:

$V_{льда} = S \cdot h$

Тогда суммарная сила тяжести равна:

$P_{льда} + P_{груза} = (\rho_{льда} \cdot S \cdot h + m_{груза}) \cdot g$

Сила Архимеда $F_A$ равна весу воды, вытесненной льдиной. Так как льдина погружена полностью, объем вытесненной воды равен объему льдины $V_{льда}$.

$F_A = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{погр} = \rho_{воды} \cdot g \cdot V_{льда} = \rho_{воды} \cdot g \cdot S \cdot h$

Теперь приравняем выражения для силы Архимеда и суммарной силы тяжести:

$\rho_{воды} \cdot g \cdot S \cdot h = (\rho_{льда} \cdot S \cdot h + m_{груза}) \cdot g$

Можно сократить ускорение свободного падения $\text{g}$ в обеих частях уравнения:

$\rho_{воды} \cdot S \cdot h = \rho_{льда} \cdot S \cdot h + m_{груза}$

Выразим из этого уравнения искомую площадь $\text{S}$. Для этого перенесем слагаемые с $\text{S}$ в одну часть:

$\rho_{воды} \cdot S \cdot h - \rho_{льда} \cdot S \cdot h = m_{груза}$

$S \cdot h \cdot (\rho_{воды} - \rho_{льда}) = m_{груза}$

Отсюда находим площадь $\text{S}$:

$S = \frac{m_{груза}}{h \cdot (\rho_{воды} - \rho_{льда})}$

Подставим числовые значения в систему СИ:

$S = \frac{80 \text{ кг}}{0.4 \text{ м} \cdot (1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 900 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})} = \frac{80}{0.4 \cdot 100} = \frac{80}{40} = 2 \text{ м}^2$

Ответ: площадь льдины равна $2 \text{ м}^2$.