Номер 406, страница 48 - гдз по физике 7-9 класс сборник задач Московкина, Волков

7 класс. Простые механизмы - номер 406, страница 48.

Условие.

406. На рисунке изображен невесомый стержень. В точках 1 и 3 к стержню приложены силы $F_1 = 100 \text{ Н}$ и $F_2 = 300 \text{ Н}$. В какой точке надо расположить ось вращения, чтобы стержень находился в равновесии?

Решение.

Дано:

$F_1 = 100$ Н (сила приложена в точке 1)
$F_2 = 300$ Н (сила приложена в точке 3)

Найти:

Точку, в которой нужно расположить ось вращения для равновесия стержня.

Решение:

Для того чтобы невесомый стержень находился в равновесии, необходимо, чтобы алгебраическая сумма моментов сил, действующих на него относительно оси вращения, была равна нулю. Это условие равновесия рычага (правило моментов):

$M_1 + M_2 = 0$

Момент силы $\text{M}$ равен произведению силы $\text{F}$ на её плечо $\text{d}$. Плечо силы — это кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы.

$M = F \cdot d$

Примем моменты сил, вращающие стержень против часовой стрелки, положительными, а по часовой стрелке — отрицательными.

Обозначим расстояние между соседними точками на стержне за $\text{L}$. Пусть искомая ось вращения находится в точке с условной координатой $\text{x}$. Тогда координаты точек приложения сил: $x_1 = 1$ и $x_3 = 3$.

Сила $F_1$ направлена вниз и создает вращающий момент $M_1$. Сила $F_2$ направлена вверх и создает вращающий момент $M_2$.

Так как $F_2 > F_1$, точка опоры должна находиться ближе к большей силе. Проверим расположение оси вращения справа от точки 3, например, в точке с координатой $x > 3$.

В этом случае сила $F_1$ вращает стержень по часовой стрелке (момент отрицательный), а её плечо равно $d_1 = (x - 1)L$.

$M_1 = -F_1 \cdot d_1 = -F_1 \cdot (x-1)L$

Сила $F_2$ вращает стержень против часовой стрелки (момент положительный), а её плечо равно $d_2 = (x - 3)L$.

$M_2 = F_2 \cdot d_2 = F_2 \cdot (x-3)L$

Запишем условие равновесия:

$F_2 \cdot (x-3)L - F_1 \cdot (x-1)L = 0$

Разделим обе части уравнения на $\text{L}$ и подставим значения сил:

$300 \cdot (x-3) - 100 \cdot (x-1) = 0$

Разделим обе части на 100:

$3 \cdot (x-3) - 1 \cdot (x-1) = 0$

$3x - 9 - x + 1 = 0$

$2x - 8 = 0$

$2x = 8$

$x = 4$

Таким образом, ось вращения должна быть расположена в точке 4.

Проверим: плечо силы $F_1$ равно $d_1 = (4-1)L = 3L$. Момент $M_1 = 100 \text{ Н} \cdot 3L = 300L$ (по часовой стрелке).Плечо силы $F_2$ равно $d_2 = (4-3)L = 1L$. Момент $M_2 = 300 \text{ Н} \cdot 1L = 300L$ (против часовой стрелки).Моменты равны по величине и противоположны по направлению, значит стержень будет в равновесии.

Ответ: Ось вращения надо расположить в точке 4.